「零行列」について
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国立 愛知教育大学 2011年 第7問2次の正方行列$A,\ B$について次の2つの条件を考える．($O$は零行列を表す．)
\mon[(a)] $A^3B^2-A^2B^3=O$
\mon[(b)] $A^2 \neq O$かつ$B^2 \neq O$
(1)(a)を満たす$A$と$B$がともに逆行列をもつとき，$A=B$であることを証明せよ．
(2)(a)，(b)を満たし，$A \neq B$である$A,\ B$の例を1組あげよ．
\mon[(a)] $A^3B^2-A^2B^3=O$
\mon[(b)] $A^2 \neq O$かつ$B^2 \neq O$
(1)(a)を満たす$A$と$B$がともに逆行列をもつとき，$A=B$であることを証明せよ．
(2)(a)，(b)を満たし，$A \neq B$である$A,\ B$の例を1組あげよ．
国立 東京学芸大学 2011年 第1問実数$a,\ b$に対して，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a-1 & 2a \\
1 & 2a-1
\end{array} \right)$が$(A-bE)^2=O$をみたしているとき，$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列とする．
a-1 & 2a \\
1 & 2a-1
\end{array} \right)$が$(A-bE)^2=O$をみたしているとき，$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列とする．
国立 山形大学 2011年 第2問2次の正方行列$A,\ B$と実数$p$が
\[ A+B=3E,\quad pA-B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & -3 \\
-6 & 3
\end{array} \biggr),\quad AB=O \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
(1)$(p+1)A=\biggl( \begin{array}{cc}
3 & -3 \\
-6 & 6
\end{array} \biggr),\ (p+1)B=\biggl( \begin{array}{cc}
3p & 3 \\
6 & 3(p-1)
\end{array} \biggr)$を示せ．
(2)実数$p$の値と行列$A,\ B$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$A^{n+1}=3A^n$を示し，$A^n$を求めよ．
\[ A+B=3E,\quad pA-B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & -3 \\
-6 & 3
\end{array} \biggr),\quad AB=O \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
(1)$(p+1)A=\biggl( \begin{array}{cc}
3 & -3 \\
-6 & 6
\end{array} \biggr),\ (p+1)B=\biggl( \begin{array}{cc}
3p & 3 \\
6 & 3(p-1)
\end{array} \biggr)$を示せ．
(2)実数$p$の値と行列$A,\ B$を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$A^{n+1}=3A^n$を示し，$A^n$を求めよ．
国立 山梨大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \]
を求めよ．
(2)$\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ．
(3)$0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ．また，定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ．
(4)$A$を$2$次正方行列とする．$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
(1)実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \]
を求めよ．
(2)$\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ．
(3)$0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ．また，定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ．
(4)$A$を$2$次正方行列とする．$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
公立 高知工科大学 2011年 第4問行列$A=\biggl( \begin{array}{rr}
-1 & -4 \\
4 & 7
\end{array} \biggr),\ E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$に対して，$N=A-kE$とおく．ただし，$k$は実数の定数である．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$N^2=O$となるように，$k$の値を定めよ．ただし，$O$は零行列である．
(2)$n$を正の整数として，$A^n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が
\[ a_1=b_1=1,\quad a_{n+1}=-a_n-4b_n,\quad b_{n+1}=4a_n+7b_n \]
で与えられるとき，一般項$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
-1 & -4 \\
4 & 7
\end{array} \biggr),\ E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$に対して，$N=A-kE$とおく．ただし，$k$は実数の定数である．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$N^2=O$となるように，$k$の値を定めよ．ただし，$O$は零行列である．
(2)$n$を正の整数として，$A^n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が
\[ a_1=b_1=1,\quad a_{n+1}=-a_n-4b_n,\quad b_{n+1}=4a_n+7b_n \]
で与えられるとき，一般項$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
公立 大阪府立大学 2011年 第3問$3$次の正方行列$\left( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
0 & d & e \\
0 & 0 & f
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$A$と同じ型の単位行列を$E$，零行列を$O$とする．
(1)$A^3$を求めよ．
(2)$A^3=O$であるための必要十分条件は，$a=d=f=0$であることを示せ．
(3)$(A+E)^3=E$ならば，$A=O$であることを示せ．
a & b & c \\
0 & d & e \\
0 & 0 & f
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$A$と同じ型の単位行列を$E$，零行列を$O$とする．
(1)$A^3$を求めよ．
(2)$A^3=O$であるための必要十分条件は，$a=d=f=0$であることを示せ．
(3)$(A+E)^3=E$ならば，$A=O$であることを示せ．
国立 北海道大学 2010年 第2問実数を成分とする行列$A =\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$が$A^2 -A+E = O$を満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
(1)$A$は逆行列をもつことを示せ．
(2)$a+d$と$ad-bc$を求めよ．
(3)$b>0,\ A^{-1}=\left(
\begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array}
\right)$のとき，$A$を求めよ．
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right)$が$A^2 -A+E = O$を満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
(1)$A$は逆行列をもつことを示せ．
(2)$a+d$と$ad-bc$を求めよ．
(3)$b>0,\ A^{-1}=\left(
\begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array}
\right)$のとき，$A$を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第2問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は零行列ではなく，$A^2$が零行列となるとする．次の問に答えよ．
(1)$a+d=ad-bc=0$を示せ．
(2)行列$A$が表す一次変換によって，座標平面上の原点と任意の点P，Qは同一直線上に移ることを示せ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は零行列ではなく，$A^2$が零行列となるとする．次の問に答えよ．
(1)$a+d=ad-bc=0$を示せ．
(2)行列$A$が表す一次変換によって，座標平面上の原点と任意の点P，Qは同一直線上に移ることを示せ．
私立 北海学園大学 2010年 第7問行列$X=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(1)行列$X^2-(2 \cos \theta)X$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，行列$X^3+E$を計算せよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(3)$X^3-2X^2+X=O$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．ただし，$O$は$2$次の零行列とする．
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(1)行列$X^2-(2 \cos \theta)X$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，行列$X^3+E$を計算せよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(3)$X^3-2X^2+X=O$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．ただし，$O$は$2$次の零行列とする．
私立 北海学園大学 2010年 第6問行列$X=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(1)行列$X^2-(2 \cos \theta)X$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，行列$X^3+E$を計算せよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(3)$X^3-2X^2+X=O$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．ただし，$O$は$2$次の零行列とする．
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(1)行列$X^2-(2 \cos \theta)X$を計算せよ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，行列$X^3+E$を計算せよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．
(3)$X^3-2X^2+X=O$を満たす$\theta$の値をすべて求めよ．ただし，$O$は$2$次の零行列とする．