「零行列」について
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国立 富山大学 2013年 第3問実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，$A^3-3A+2E=O$，$A \neq -2E$かつ$a+d \neq 2$を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，$A^3-3A+2E=O$，$A \neq -2E$かつ$a+d \neq 2$を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ．
国立 富山大学 2013年 第3問実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，
\[ A^3-3A+2E=O,\quad A \neq -2E \text{かつ}a+d \neq 2 \]
を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty r_n$の和を求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，
\[ A^3-3A+2E=O,\quad A \neq -2E \text{かつ}a+d \neq 2 \]
を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty r_n$の和を求めよ．
私立 京都産業大学 2013年 第1問以下の$[ ]$にあてはまる式または数値を入れよ．
(1)多項式$2x^3-3x^2+2x-8$を$2x^2-1$で割った余りは$[ ]$である．
(2)不等式$\displaystyle \sqrt{2x-1}<\frac{1}{2}(x+1)$を満たす$x$の値の範囲は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle a_1=1,\ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は$[ ]$である．
(4)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{2x}>\frac{1}{2} \left( \frac{1}{16} \right)^{x}$を満たす$x$の値の範囲は$[ ]$である．
(5)$\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
4 & 2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
a & 3 \\
-2 & b
\end{array} \right)=O$が成り立つとき，$a,\ b$の値は$(a,\ b)=[ ]$である．ただし，$O$は$2$次の零行列である．
(1)多項式$2x^3-3x^2+2x-8$を$2x^2-1$で割った余りは$[ ]$である．
(2)不等式$\displaystyle \sqrt{2x-1}<\frac{1}{2}(x+1)$を満たす$x$の値の範囲は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle a_1=1,\ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は$[ ]$である．
(4)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{2x}>\frac{1}{2} \left( \frac{1}{16} \right)^{x}$を満たす$x$の値の範囲は$[ ]$である．
(5)$\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
4 & 2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
a & 3 \\
-2 & b
\end{array} \right)=O$が成り立つとき，$a,\ b$の値は$(a,\ b)=[ ]$である．ただし，$O$は$2$次の零行列である．
公立 北九州市立大学 2013年 第4問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列である．答えを導く過程も示すこと．
(1)行列$A$に対して，等式$A^2-5A+5E=O$が成り立つことを示せ．
(2)行列$B$について，$B=A^4-3A^3-3A^2+2A+9E$のとき，行列$B$を求めよ．
(3)行列$A$の表す$1$次変換によって，直線$2x-y+1=0$上の点を移す．このとき，像を表す図形の方程式を求めよ．
3 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列である．答えを導く過程も示すこと．
(1)行列$A$に対して，等式$A^2-5A+5E=O$が成り立つことを示せ．
(2)行列$B$について，$B=A^4-3A^3-3A^2+2A+9E$のとき，行列$B$を求めよ．
(3)行列$A$の表す$1$次変換によって，直線$2x-y+1=0$上の点を移す．このとき，像を表す図形の方程式を求めよ．
国立 埼玉大学 2012年 第2問行列$A$を$\left(
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & 2
\end{array}
\right)$とし，$E,\ O$をそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．
(1)$A^2-5A+4E=O$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とする．$x^n$を$x^2-5x+4$で割った余りを求めよ．
(3)$a,\ b$を(1)で求めた実数とする．$2$以上の自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & 2
\end{array}
\right)$とし，$E,\ O$をそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．
(1)$A^2-5A+4E=O$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とする．$x^n$を$x^2-5x+4$で割った余りを求めよ．
(3)$a,\ b$を(1)で求めた実数とする．$2$以上の自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
国立 埼玉大学 2012年 第2問行列$A$を$\left(
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & 2
\end{array}
\right)$とし，$E,\ O$をそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．
(1)$A^2-5A+4E=O$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とする．$x^n$を$x^2-5x+4$で割った余りを求めよ．
(3)$a,\ b$を(1)で求めた実数とする．$2$以上の自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & 2
\end{array}
\right)$とし，$E,\ O$をそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．
(1)$A^2-5A+4E=O$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とする．$x^n$を$x^2-5x+4$で割った余りを求めよ．
(3)$a,\ b$を(1)で求めた実数とする．$2$以上の自然数$n$に対して，$A^n$を求めよ．
国立 静岡大学 2012年 第2問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が
\[ A^2-4A+3E=O \]
を満たしている．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a+d$のとり得るすべての値を求めよ．
(2)$a$が整数で$b = c$となるような$A$をすべて求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が
\[ A^2-4A+3E=O \]
を満たしている．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a+d$のとり得るすべての値を求めよ．
(2)$a$が整数で$b = c$となるような$A$をすべて求めよ．
国立 静岡大学 2012年 第3問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が
\[ A^2-4A+3E=O \]
を満たしている．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a+d$のとり得るすべての値を求めよ．
(2)$a$が整数で$b = c$となるような$A$をすべて求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が
\[ A^2-4A+3E=O \]
を満たしている．ただし，$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a+d$のとり得るすべての値を求めよ．
(2)$a$が整数で$b = c$となるような$A$をすべて求めよ．
国立 信州大学 2012年 第5問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は次の条件をみたすものとする．
\begin{eqnarray}
a+d=1,\ & & A^2-A-2E=O \nonumber \\
& & (\text{ただし，}E \text{は単位行列で，}O \text{は零行列である．}) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)次の関係をみたす実数$x,\ y$は$x=y=0$に限ることを示せ．
\[ xA+yE=O \]
(2)自然数$n$に対し，$A^n$はある実数$x_n,\ y_n$を用いて，$A^n=x_n A+y_n E$の形で表せることを示し，数列$\{x_n-y_n\},\ \{2x_n+y_n\}$の一般項を求めよ．
(3)自然数$n$に対し，$A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とおく．$p_n+s_n$を求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は次の条件をみたすものとする．
\begin{eqnarray}
a+d=1,\ & & A^2-A-2E=O \nonumber \\
& & (\text{ただし，}E \text{は単位行列で，}O \text{は零行列である．}) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)次の関係をみたす実数$x,\ y$は$x=y=0$に限ることを示せ．
\[ xA+yE=O \]
(2)自然数$n$に対し，$A^n$はある実数$x_n,\ y_n$を用いて，$A^n=x_n A+y_n E$の形で表せることを示し，数列$\{x_n-y_n\},\ \{2x_n+y_n\}$の一般項を求めよ．
(3)自然数$n$に対し，$A^n=\left( \begin{array}{cc}
p_n & q_n \\
r_n & s_n
\end{array} \right)$とおく．$p_n+s_n$を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2012年 第3問$a,\ b$は定数で$a \neq 0$とする．自然数$n$に対して，整式$(ax+b)^n$を$x^2+1$で割った余りを$a_nx+b_n$と表し，
\[ I_n=\int_0^1 \frac{(ax+b)^n}{x^2+1} \, dx \]
とおく．
(1)行列$A$は，すべての$n$に対して，
\[ \biggl( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \biggr) \]
を満たす．行列$A$を求めよ．
(2)(1)で求めた行列$A$に対し，
\[ A^2+pA+qE=O \]
となる定数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
(3)(2)で求めた$p,\ q$に対し，定積分
\[ I_{n+2}+pI_{n+1}+qI_n \]
を求めよ．
(4)$a=1,\ b=-1$のとき$I_5$を求めよ．
\[ I_n=\int_0^1 \frac{(ax+b)^n}{x^2+1} \, dx \]
とおく．
(1)行列$A$は，すべての$n$に対して，
\[ \biggl( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \biggr) \]
を満たす．行列$A$を求めよ．
(2)(1)で求めた行列$A$に対し，
\[ A^2+pA+qE=O \]
となる定数$p,\ q$を$a,\ b$を用いて表せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．
(3)(2)で求めた$p,\ q$に対し，定積分
\[ I_{n+2}+pI_{n+1}+qI_n \]
を求めよ．
(4)$a=1,\ b=-1$のとき$I_5$を求めよ．