次の$(1),\ (2)$から$1$題を選択し解答せよ．

(1)等式$\displaystyle |\displaystyle\frac{i|{z}-1}=|\displaystyle\frac{1|{z}-k}$を満たすすべての複素数$z$に対して不等式$|z| \leqq 2$が成り立つような実数$k$の値の範囲を求めよ．
(2)実数$k$と$2$次の正方行列$A$は$A^2-kA+3E=O$を満たすとする．また，座標平面上で$A$の表す移動によって，点$(1,\ 1)$は点$(3,\ 3)$へ移り，直線$y=-x$上の点は同じ直線上の点に移るとする．このとき，$A$を求めよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列を表す．

$A$を$2$次の正方行列とし，$O$を$2$次の零行列，$E$を$2$次の単位行列とする．$P=A-E$とおいたとき，$P^2=O$が成り立っているとする．下の問いに答えなさい．

(1)等式$A^2=2P+E$と$A^3=3P+E$を示しなさい．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を$P$と$E$で表しなさい．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$のとき，自然数$n$に対して$A^n$を求めなさい．

$A+B=E$，$AB=O$をみたす$2 \times 2$行列$A,\ B$を考える．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．以下の問いに答えよ．

(1)$A^2=A$，$B^2=B$，$BA=O$となることを示せ．
(2)$(A+\alpha B)^n=A+k_nB$をみたす実数$k_n$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$\alpha$は実数であり，$n$は自然数である．
(3)$A+\alpha B=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -3 \\
2 & 4
\end{array} \right)$であるとき，$A,\ B$と実数$\alpha$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)座標平面上での原点を中心とする${150}^\circ$の回転移動を表す行列を$P$とする．点$(x,\ y)$が$P$の表す移動によって，点$(2,\ 4)$に移ったとする．このとき，点$(x,\ y)$を求めよ．
(2)$(1)$で与えられた行列$P$を考える．$P^n=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3)以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，$X,\ Y$は$2$次の正方行列とする．

(i) $XY=YX$が成立する．
(ii) $XY=O$ならば，$X=O$または$Y=O$である．ただし，$O$は$2$次の零行列を表す．
(iii) $A$を逆行列$A^{-1}$をもつ$2$次の正方行列とする．このとき，$AX=Y$ならば，$X=YA^{-1}$である．

次の条件を満たす$2$次正方行列$A,\ B$がある．
\[ A^2=E,\quad B^2=-E,\quad AB+BA=O \]
ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$が成り立つことを示せ．
\[ (ⅰ) (A+B+AB)^2=E \qquad (ⅱ) A+B \neq O \qquad (ⅲ) AB \neq E \]
(2)$(A+B)C=O$となる零行列でない$2$次正方行列$C$が存在することを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$と単位行列$E$，零行列$O$に対して，等式
\[ A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O \]
が成り立つことを示せ．
(2)行列$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & \sqrt{3}+1 \\
\sqrt{3}-1 & 2
\end{array} \right)$と自然数$n$に対して，
\[ B+2B^2+3B^3+\cdots +nB^n=b_nB \]
を満たす実数$b_n$を求めよ．

$a,\ b$を定数とし，$2$次の正方行列$A,\ X,\ Y$は
\[ A=aX+bY,\quad X+Y=E,\quad XY=O \]
をみたすとする．ここで，$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列を表す．このとき，$X+Y=E$の両辺に左から$X$を掛けると$X^2=X$が成り立つことがわかる．

(1)$Y^2=Y,\ YX=O$が成り立つことを示せ．
(2)$A$が$E$の定数倍ではないとき，$A-aE$と$A-bE$はともに逆行列をもたないことを示せ．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
6 & 3
\end{array} \right)$のとき，$a,\ b (a<b)$および$X,\ Y$を求めよ．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$（$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする）に対して，$2$次方程式$x^2-(a+d)x+ad-bc=0$は相異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとする．いま，
\[ P=\frac{1}{\alpha-\beta}(A-\beta E),\quad Q=\frac{1}{\beta-\alpha}(A-\alpha E) \]
とおく．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(1)$PQ=QP=O$が成り立つことを示せ．ただし，$O$は$2$次の零行列である．
(2)$P+Q=E,\ P^2=P$および$Q^2=Q$が成り立つことを示せ．
(3)$A=\alpha P+\beta Q$が成り立つことを示せ．
(4)$A^n=\alpha^n P+\beta^n Q (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．

$E$を$2$次の単位行列，$O$を$2$次の零行列とする．正の実数$a$に対して，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -a \\
a & 1
\end{array} \right)$が
\[ A^2-2A+4E=O \]
をみたすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$を求めよ．
(2)$A^3$を求めよ．
(3)$A^8$を求めよ．

$n$を自然数とする．$\alpha$を実数とし，$A=\left( \begin{array}{cc}
\alpha+1 & 1 \\
-1 & \alpha-1
\end{array} \right)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$(A-\alpha E)^2=O$であることを示せ．ただし，$E$は$2$次単位行列，$O$は$2$次零行列とする．
(2)$A^n$を求めよ．
(3)連立$1$次方程式$A^n \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$の解$x,\ y$をすべて求めよ．