次の問いに答えよ．

(1)$x^2+ax+2x+3a-3$を因数分解せよ．
(2)男$4$人，女$2$人が一列に並ぶとき，女$2$人が隣接する並び方は$[　]$通り．
(3)$x^2-11x+1>0$を解け．
(4)$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin \theta=[　]$である．
(5)循環小数$1. \dot{2} \dot{1}$を分数で表せ．

表と裏のあるコイン14枚を一列に並べる．隣接する2枚の組すべてに着目し，表表，裏裏，表裏，裏表となる組の個数をそれぞれ数える．例えば，「表表表裏裏表表表裏裏裏裏裏裏」の順に並べた場合，表表は4個，裏裏は6個，表裏は2個，裏表は1個である．次の問いに答えよ．

(1)表表が0個，裏裏が11個，表裏が1個，裏表が1個となる並べ方は何通りか．
(2)表表が0個，裏裏が9個，表裏が2個，裏表が2個となる並べ方は何通りか．
(3)表表が2個，裏裏が6個，表裏が3個，裏表が2個となる並べ方は何通りか．

点$\mathrm{O}$を中心とする正十角形において，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を隣接する$2$つの頂点とする．線分$\mathrm{OB}$上に$\mathrm{OP}^2=\mathrm{OB}\cdot \mathrm{PB}$を満たす点$\mathrm{P}$をとるとき，$\mathrm{OP}=\mathrm{AB}$が成立することを示せ．

$n$を$0$以上の整数とする．立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の頂点を，以下のように移動する$2$つの動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．時刻$0$には$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に位置し，$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{C}$に位置している．時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置していれば，時刻$n+1$には，$\mathrm{P}$は時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移り，$\mathrm{Q}$も時刻$n$に位置していた頂点から，それに隣接する$3$頂点のいずれかに等しい確率で移る．一方，時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ頂点に位置していれば，時刻$n+1$には$\mathrm{P}$も$\mathrm{Q}$も時刻$n$の位置からは移動しない．

(1)時刻$1$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はどの頂点にあるか．可能な組み合わせをすべて挙げよ．
(2)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が異なる頂点に位置する確率$r_n$を求めよ．
(3)時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がともに上面$\mathrm{ABCD}$の異なる頂点に位置するか，またはともに下面$\mathrm{EFGH}$の異なる頂点に位置するかのいずれかである確率を$p_n$とする．また， 時刻$n$において，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のいずれか一方が上面$\mathrm{ABCD}$，他方が下面$\mathrm{EFGH}$にある確率を$q_n$とする．$p_{n+1}$を，$p_n$と$q_n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{q_n}{p_n}$を求めよ．
（図は省略）

図のように立方体の隣接する$3$つの面$\mathrm{ABCD}$，$\mathrm{BEFC}$，$\mathrm{CFGD}$上にそれぞれ縦横等間隔の線を描き，その線の上を通ることができるとする．次のそれぞれの場合に最短距離で通る道順は何通りあるかを求めよ．
（図は省略）

(1)面$\mathrm{ABCD}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$へ行く場合．
(2)面$\mathrm{ABCD}$，$\mathrm{BEFC}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$へ行く場合．
(3)面$\mathrm{ABCD}$，$\mathrm{BEFC}$，$\mathrm{CFGD}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$へ行く場合．