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北里大学 私立 北里大学 2014年 第1問
つぎの$[ ]$にあてはまる答を記せ.

(1)空間に$4$点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 3)$,$\mathrm{B}(4,\ 4,\ 3)$,$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 5)$,$\mathrm{D}(4,\ 1,\ 3)$がある.

(i) $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$のなす角を$\theta$とおくとき,$\theta=[ア]$である.ただし,$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする.
(ii) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[イ]$である.

(2)$a$を実数とする.$x$についての$2$次方程式$x^2-2x \log_2 \{(a+1)(a-5)\}+4=0$の解の$1$つが$2$であるとき,$a$の値は$[ウ]$である.また,この$2$次方程式が実数解をもたないような$a$の値の範囲は$[エ]$である.
(3)不等式$\displaystyle x^2+2x \leqq y \leqq 2x+2 \leqq \frac{4}{3}y$の表す領域の面積は$[オ]$である.また,この領域上の点$(x,\ y)$のうち,$5x-3y$が最小となるような点の座標は$[カ]$である.
(4)$n$は正の整数とする.階段を$1$度に$1$段,$2$段または$3$段登る.このとき,$n$段からなる階段の登り方の総数を$a_n$とする.例えば,$a_1=1$であり,$a_2=2$である.

(i) $a_3$の値は$[キ]$である.
(ii) $a_4$の値は$[ク]$である.
(iii) $a_{10}$の値は$[ケ]$である.

(5)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする.曲線$y=\sin x$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t+\frac{\pi}{2},\ \sin \left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線を$\ell$とおく.直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$を$m$とおき,法線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする.

(i) $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$のとき,点$\mathrm{Q}$の座標は$[コ]$である.
(ii) 曲線$y=\sin x$と法線$\ell$および直線$m$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき,極限$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{S(t)}{t}$の値は$[サ]$である.
千葉大学 国立 千葉大学 2011年 第8問
$n$段の階段を上るのに,一歩で1段,2段,または3段を上ることができるとする.この階段の上り方の総数を$a_n$とおく.たとえば,$a_1 = 1,\ a_2 = 2,\ a_3 = 4$である.

(1)$a_4,\ a_5$の値を求めよ.
(2)$a_n,\ a_{n+1},\ a_{n+2},\ a_{n+3} \ (n \geqq 1)$の間に成り立つ関係式を求めよ.
(3)$a_{10}$の値を求めよ.
小樽商科大学 国立 小樽商科大学 2011年 第3問
次の[ ]の中を適当に補いなさい.

(1)$m>0$とする.放物線$y=x^2$と放物線$y=x(m-x)$とで囲まれた図形の面積$S$を$m$で表せば,$S=[ ]$.
(2)$\cos 2\theta-\cos \theta+1$の最大値を$M$,最小値を$m$とすれば,$(M,\ m)=[ ]$.
(3)10段の階段を1段ずつ,1段飛ばし,2段飛ばしの3種類の登り方を自由に使って登ることができるものとする.このとき,10段を登る方法は全部で[ ]通りある.
福島大学 国立 福島大学 2010年 第2問
図1のような11段の階段がある.この階段を一足で1段上っても2段上ってもよい.また,一足で1段上ることと一足で2段上ることを混ぜて上ってもよい.これらの上り方以外は認められず,連続して2段ずつは上れないものとする.次の問いに答えなさい.

(1)ちょうど5段上る上り方は何通りか求めなさい.
(2)11段上る上り方は何通りか求めなさい.

(図は省略)
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