次の空欄$[ア]$から$[ケ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

(1)自然数$n$に対し$n!$で$n$の階乗$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-1) \cdot n$を表し，$2$を底とする対数関数を$\log_2 (x)$とする．このとき，
\[ \log_2(1!)-\log_2(2!)+\log_2(3!)-\log_2(4!)=[ア] \]
となる．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$a$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$b$，辺$\mathrm{AB}$の長さを$c$，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく．$S$を$b,\ c$と$\mathrm{A}$を使って表すと，
\[ S=\frac{1}{2}bc [イ] \]
となる．また，$a,\ b,\ c,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の間には
\[ b=a \frac{[ウ]}{\sin \mathrm{A}},\quad c=a \frac{[エ]}{\sin \mathrm{A}} \]
という関係がある．よって，$S$を$a,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$で表すと，
\[ S=\frac{1}{2}a^2 [オ] \]
となる．とくに，$\mathrm{B}=30^\circ$，$\mathrm{C}=45^\circ$，$a=1$のときには，
\[ \sin \mathrm{B}=[カ],\quad \sin \mathrm{C}=[キ] \]
また，
\[ \sin \mathrm{A}=[ク] \]
だから，
\[ S=\frac{-1+[ケ]}{4} \]
となる．

$n$を2以上の自然数として，階乗$n!$を素数の積で表すときに現れる2の個数を$a_n$とおく．すなわち$\displaystyle \frac{n!}{2^{a_n}}$は奇数である．

(1)$\displaystyle \frac{(2n)!}{2^nn!}$は奇数であることを示せ．
(2)$a_{2n}-a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n=2^k \ (k \text{は自然数})$のとき，$a_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$a_n<n$を示せ．
(5)$\sqrt[n]{n!}$は無理数であることを示せ．