「限り」について
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国立 高知大学 2013年 第2問座標平面において，点$\mathrm{P}_0$を原点として，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\cdots$を \\
下図のようにとっていく（点線は$x$軸と平行）．ただし， \\
$\displaystyle \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n=\frac{1}{2^{n-1}} \ (n \geqq 1),\ 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき， \\
次の問いに答えよ．
\img{674_2898_2013_1}{25}
(1)$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\cdots +\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n+\cdots$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}_n$の座標を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(3)$n$を限りなく大きくするとき，点$\mathrm{P}_n$はどのような点に近づくか，その点の座標を求めよ．
下図のようにとっていく（点線は$x$軸と平行）．ただし， \\
$\displaystyle \mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n=\frac{1}{2^{n-1}} \ (n \geqq 1),\ 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき， \\
次の問いに答えよ．
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(1)$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\cdots +\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n+\cdots$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}_n$の座標を$n$と$\theta$を用いて表せ．
(3)$n$を限りなく大きくするとき，点$\mathrm{P}_n$はどのような点に近づくか，その点の座標を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第5問$h$を$0<h<1$を満たす実数とし，
\[ f(x)=\bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1,\quad g(x)=- \bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1 \]
とする．
(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．
\[ f(x)=\bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1,\quad g(x)=- \bigg| x^2-\frac{2}{h}x \bigg| +2x+1 \]
とする．
(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第4問$h$を$0<h<1$を満たす実数とし，
\[ f(x)=x^2+2 \biggl( 1-\frac{1}{h} \biggr) x +1,\quad g(x)=-x^2+2 \biggl( 1+\frac{1}{h} \biggr) x+1 \]
とする．
(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．
\[ f(x)=x^2+2 \biggl( 1-\frac{1}{h} \biggr) x +1,\quad g(x)=-x^2+2 \biggl( 1+\frac{1}{h} \biggr) x+1 \]
とする．
(1)2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる図形の面積$S(h)$を求めよ．
(2)(1)で定めた図形を含む，各辺が$x$軸または$y$軸に平行であるような長方形のうち，面積が最小となるものの面積を$T(h)$とする．$h$が0に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{T(h)}{S(h)}$の極限値を求めよ．
私立 東京理科大学 2012年 第2問$a$を正の定数とし，座標平面において放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2)$を考える．ただし，$t>0$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$x$軸上の点$\mathrm{Q}$を，$\mathrm{RP}=\mathrm{RQ}$を満たし，その$x$座標が$\mathrm{R}$の$x$座標より大きいものとする．
(1)点$\mathrm{P}$を通り$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\ell$と点$\mathrm{P}$において接し$x$軸とも接する円で，中心が第$1$象限にあるものを考える．この円の中心の座標を$(q,\ r)$とするとき，$q,\ r$を$t$と$a$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$q,\ r$に対して，$t$が$0$に限りなく近づくときの，$\displaystyle \frac{q}{t},\ \frac{r}{t^2},\ \frac{r}{q^2}$の極限値をそれぞれ求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$を通り$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\ell$と点$\mathrm{P}$において接し$x$軸とも接する円で，中心が第$1$象限にあるものを考える．この円の中心の座標を$(q,\ r)$とするとき，$q,\ r$を$t$と$a$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$q,\ r$に対して，$t$が$0$に限りなく近づくときの，$\displaystyle \frac{q}{t},\ \frac{r}{t^2},\ \frac{r}{q^2}$の極限値をそれぞれ求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2012年 第7問原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円において扇形$\mathrm{OAB}$を考える．ただし，点$\mathrm{A}$は$(1,\ 0)$であり，点$\mathrm{B}$は第$1$象限にあるとする．扇形$\mathrm{OAB}$の中心角は，$x$ラジアン$\displaystyle \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$であるとする．点$\mathrm{B}$から$\mathrm{OA}$におろした垂線を$\mathrm{BC}$，点$\mathrm{A}$における円の接線が，点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{B}$を通る直線と交わる点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ODA}$，三角形$\mathrm{OAB}$，扇形$\mathrm{OAB}$の面積を，$x$を用いてそれぞれ表せ．
(2)不等式$\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to +0}\frac{\sin x}{x}=1$を示せ．ただし，$x \to +0$は，$x$が正の値をとりながら限りなく$0$に近づくことを表す．
(1)三角形$\mathrm{ODA}$，三角形$\mathrm{OAB}$，扇形$\mathrm{OAB}$の面積を，$x$を用いてそれぞれ表せ．
(2)不等式$\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to +0}\frac{\sin x}{x}=1$を示せ．ただし，$x \to +0$は，$x$が正の値をとりながら限りなく$0$に近づくことを表す．
国立 奈良教育大学 2011年 第1問以下の設問に答えよ．
(1)初項$a$，公比$r$の無限等比級数は$|\,r\,|<1$のとき収束し，その和が$\displaystyle \frac{a}{1-r}$となることを示せ．
(2)座標平面上で，動点Pが点$(1,\ 1)$から$x$軸の負の向きに1だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3}$だけ進み，次に$x$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^2}$だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^3}$だけ進む．以下，動点Pがこのような運動を続けるとき，動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ．
(1)初項$a$，公比$r$の無限等比級数は$|\,r\,|<1$のとき収束し，その和が$\displaystyle \frac{a}{1-r}$となることを示せ．
(2)座標平面上で，動点Pが点$(1,\ 1)$から$x$軸の負の向きに1だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3}$だけ進み，次に$x$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^2}$だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^3}$だけ進む．以下，動点Pがこのような運動を続けるとき，動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2011年 第3問文字$x,\ y,\ z$の任意の整式$A$に対して，$x,\ y,\ z$をそれぞれ$\sin \theta,\ \cos \theta,\ \tan \theta$に置き換えて得られる$\theta$の関数を$\widetilde{A}(\theta)$で表す．例えば，
\[ \begin{array}{lll}
P=x^5+z^4-xyz & \text{ならば} & \widetilde{P}(\theta)=\sin^5 \theta+\tan^4 \theta-\sin \theta \cos \theta \tan \theta, \\
P=x^2+y^2,\ Q=1 & \text{ならば} & \widetilde{P}(\theta)=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1=\widetilde{Q}(\theta)
\end{array} \]
である．ただし$\theta$の関数の定義域は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq 2\pi,\ \theta \neq \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$とする．
(1)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$y,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ．
(2)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\widetilde{P}(0)=\widetilde{P}(\pi)$ならば，$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ．
(3)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\displaystyle \theta \to \frac{\pi}{2}$のとき，および$\displaystyle \theta \to \frac{3\pi}{2}$のとき，$\widetilde{P}(\theta)$がそれぞれ収束するならば，$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ y$の整式$Q$が存在することを示せ．収束とは，一定の実数に限りなく近づくことである．
\[ \begin{array}{lll}
P=x^5+z^4-xyz & \text{ならば} & \widetilde{P}(\theta)=\sin^5 \theta+\tan^4 \theta-\sin \theta \cos \theta \tan \theta, \\
P=x^2+y^2,\ Q=1 & \text{ならば} & \widetilde{P}(\theta)=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1=\widetilde{Q}(\theta)
\end{array} \]
である．ただし$\theta$の関数の定義域は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq 2\pi,\ \theta \neq \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$とする．
(1)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$y,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ．
(2)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\widetilde{P}(0)=\widetilde{P}(\pi)$ならば，$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ．
(3)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\displaystyle \theta \to \frac{\pi}{2}$のとき，および$\displaystyle \theta \to \frac{3\pi}{2}$のとき，$\widetilde{P}(\theta)$がそれぞれ収束するならば，$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ y$の整式$Q$が存在することを示せ．収束とは，一定の実数に限りなく近づくことである．
私立 早稲田大学 2011年 第1問$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)関数
\[ f(x) = \int_0^1 |t^2-x^2| \, dt \]
の最小値は$[ア]$である．
(2)$n$を正の整数とする．$10^n$の正の約数すべての積は$[イ]$である．
(3)$\log_3n$が無理数となる$2011$以下の正の整数$n$は，全部で$[ウ]$個ある．
(4)関数$f(x)$は，次の$2$つの条件を満たしている．
(5)すべての実数$x$に対して，$f(3+x)=f(3-x)$
(6)$x$の値が，異なる$5$つの実数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$のときに限り$f(x)=0$となる．
このとき$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=[エ]$である．
(1)関数
\[ f(x) = \int_0^1 |t^2-x^2| \, dt \]
の最小値は$[ア]$である．
(2)$n$を正の整数とする．$10^n$の正の約数すべての積は$[イ]$である．
(3)$\log_3n$が無理数となる$2011$以下の正の整数$n$は，全部で$[ウ]$個ある．
(4)関数$f(x)$は，次の$2$つの条件を満たしている．
(5)すべての実数$x$に対して，$f(3+x)=f(3-x)$
(6)$x$の値が，異なる$5$つの実数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$のときに限り$f(x)=0$となる．
このとき$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=[エ]$である．
私立 日本女子大学 2011年 第4問点$\mathrm{O}$を中心とし，長さ$2r$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円の周上を動く点$\mathrm{P}$がある．$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$S_1$，扇形$\mathrm{OPB}$の面積を$S_2$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{PAB}=\theta (0<\theta<\frac{\pi}{2})$とするとき，$S_1$と$S_2$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が$\mathrm{B}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の極限値を求めよ．
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{PAB}=\theta (0<\theta<\frac{\pi}{2})$とするとき，$S_1$と$S_2$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が$\mathrm{B}$に限りなく近づくとき，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の極限値を求めよ．