次の空所$[ア]$～$[ト]$を埋めよ．

関数$\displaystyle f(x)=x^3+\frac{1}{2}ax^2-6x-\frac{1}{2}b$がある．ただし，
\[ a=\int_0^1 f(t) \, dt \cdots\cdots ① \qquad b=\int_{-1}^1 f(t) \, dt \cdots\cdots ② \]
とする．

(1)関数$f(x)$の不定積分は
\[ \int f(t) \, dt=\frac{1}{[ア]}t^4+\frac{1}{[イ]}at^3-[ウ]t^2-\frac{1}{[エ]}bt+C \quad \text{（$C$は積分定数）} \]
であり，式$①$，$②$より$a=-[オ]$，$\displaystyle b=-\frac{[カ]}{[キ]}$である．
(2)$y=f(x)$が表す曲線$A$において，$\displaystyle x=\frac{3}{2}$のときの接線$B$を$y=g(x)$とおくと，関数$f(x)$の導関数は
\[ f^\prime(x)=[ク]x^2-[ケ]x-[コ] \]
であるので，
\[ g(x)=-\frac{[サシ]}{[ス]}x-\frac{[セソ]}{[タ]} \]
である．
接点以外の，曲線$A$と接線$B$の交点は，$\displaystyle \left( -\frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$である．

$0 \leqq x<2 \pi$のとき$f(x)=\cos^2 x+\sin x-1$の最大値とそのときの$x$の値，最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

$y=f(x)=x^3-4x$上の点$(a,\ a^3-4a)$で$f(x)$に接する直線がこの接点以外で交わるとする．その交点の座標を求めよ．また，その$y$座標が正となるための$a$の条件を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)不等式$x^2+y^2-6x-4y \leqq -9$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合を$xy$平面上に図示せよ．
(2)関数$y=e^x-e^{-x}$のグラフに接する，傾きが$4$である接線の方程式を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{e^{-1}}^e |\log x| \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^{2x}}{9x^2+2}$について，次の問に答えよ．ただし，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=\infty$を用いてよい．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べてそのグラフをかけ．
(3)$k$を定数とするとき，$x$についての方程式$e^{2x}=k(9x^2+2)$の解の個数を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_1^e x^5 \log x \, dx$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n (x^k)^k$とする．微分係数$f^\prime(1)$を$n$で表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9x^2+x}-3x}{1-\displaystyle\frac{1}{x} \cos x}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^u te^{-t} \, dt=[ホ]ue^{-u}+[マ]e^{-u}+[ミ]$であり，これより
\[ \lim_{u \to \infty} \int_0^u te^{-t} \, dt=[ム] \]
である．
(2)定義域が実数全体であり値が実数である連続関数$f(x)$と正の定数$a$が次の$2$つの条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たしているとする．

(i) 任意の実数$x$に対して
\[ \int_0^2 (3x+t)e^{t-x} f(t) \, dt=af(x) \]
が成り立つ．
(ii) $\displaystyle \lim_{u \to \infty} \int_0^u f(t) \, dt=1$が成り立つ．

このとき$a=[メ]+[モ] \sqrt{[ヤ]}$であり，また
\[ f(x)=(3Ax+B)e^{kx} \]
ただし，$A=[ユ]+[ヨ] \sqrt{[ラ]}$

\qquad $B=[リ]+[ル] \sqrt{[レ]}$
\qquad\,$k=[ロ]$

である．

$0 \leqq x \leqq 2\pi$を定義域とする関数$f(x)=e^{ax} \sin x$が$\displaystyle x=\frac{5\pi}{3}$で極値をとるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

$xy$平面上に関数$y=e^x$のグラフ$C_1$と関数$y=a \sqrt{x} (a>0)$のグラフ$C_2$があり，ただ$1$つの共有点$\mathrm{A}$をもち，点$\mathrm{A}$で同一の接線をもつ．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$の$x$座標と$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$x$軸で$1$回転させた回転体の体積を求めよ．

関数$y=4 \sin^4 x+\sin^2 2x+4 \sin x-3 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$のとき，$y$の値を求めなさい．
(2)$\sin x=t$のとき，$y$を$t$で表しなさい．
(3)$y$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x$の値も求めなさい．