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私立 名城大学 2014年 第3問$3$次関数$f(x)=-x^3+ax^2$に対し，曲線$y=f(x)$と直線$y=2x-2$が接しているとする．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減表をかき極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)曲線$y=f(x)$の$x \geqq 0$の部分と，$x$軸および直線$x=1$によって囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減表をかき極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)曲線$y=f(x)$の$x \geqq 0$の部分と，$x$軸および直線$x=1$によって囲まれる図形の面積を求めよ．
私立 名城大学 2014年 第4問$a$を定数として，$x$の$3$次関数
\[ f(x)=x^3+6(1-a)x^2-48ax \]
について，次の問に答えよ．
(1)$f(x)$が極値をもたないとき，$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$が正の極大値と負の極小値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が負の極大値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
\[ f(x)=x^3+6(1-a)x^2-48ax \]
について，次の問に答えよ．
(1)$f(x)$が極値をもたないとき，$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$が正の極大値と負の極小値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が負の極大値をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
私立 上智大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |(x-1)(x-t)| \, dt \]
とする．
$x \leqq [ア]$，$x \geqq [イ]$のとき，
\[ f(x)=[ウ]x^2+\frac{[エ]}{[オ]}x+\frac{[カ]}{[キ]} \]
$[ア]<x<[イ]$のとき，
\[ f(x)=[ク]x^3+[ケ]x^2+\frac{[コ]}{[サ]}x+\frac{[シ]}{[ス]} \]
である．また，関数$f(x)$は$x=[セ]$のとき，最小値$[ソ]$をとる．
(2)自然数$m,\ n$が
\[ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}<\frac{1}{3} \]
を満たすとき，$\displaystyle \frac{1}{m}+\frac{1}{n}$の最大値は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．
(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |(x-1)(x-t)| \, dt \]
とする．
$x \leqq [ア]$，$x \geqq [イ]$のとき，
\[ f(x)=[ウ]x^2+\frac{[エ]}{[オ]}x+\frac{[カ]}{[キ]} \]
$[ア]<x<[イ]$のとき，
\[ f(x)=[ク]x^3+[ケ]x^2+\frac{[コ]}{[サ]}x+\frac{[シ]}{[ス]} \]
である．また，関数$f(x)$は$x=[セ]$のとき，最小値$[ソ]$をとる．
(2)自然数$m,\ n$が
\[ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}<\frac{1}{3} \]
を満たすとき，$\displaystyle \frac{1}{m}+\frac{1}{n}$の最大値は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第3問次の空欄$[$39$]$～$[$60$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$41$]$，$[$44$]$，$[$47$]$，$[$51$]$には$+$または$-$の記号が入る．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{5x^2+5x-30}{x-2}=[$39$][$40$]$である．
(2)$2$次関数$y=f(x)$のグラフは原点と点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{17}{4} \right)$を通る．また，$x=2$において傾き$8$の接線をもつ．このとき，$f(x)$の最小値は$\displaystyle [$41$] \frac{[$42$]}{[$43$]}$である．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$（ただし，$a,\ b,\ c$は定数）がある．すべての実数$x$について$3f(x)+4f^\prime(x)=-2x^2+5x+7$が常に成立するとき，
\[ a=[$44$] \frac{[$45$]}{[$46$]},\quad b=[$47$] \frac{[$48$][$49$]}{[$50$]},\quad c=[$51$] \frac{[$52$][$53$]}{[$54$][$55$]} \]
である．
(4)$2$つの関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{3}{a}$および$\displaystyle g(x)=ax^2+7x+\frac{6}{a}$がある（ただし，$a$は正の定数）．$xy$平面上の$4$つのグラフ$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=0$および$x=1$で囲まれる図形の面積は$a=[$56$] \sqrt{[$57$]}$のとき最小値$[$58$]+[$59$] \sqrt{[$60$]}$をとる．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{5x^2+5x-30}{x-2}=[$39$][$40$]$である．
(2)$2$次関数$y=f(x)$のグラフは原点と点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{17}{4} \right)$を通る．また，$x=2$において傾き$8$の接線をもつ．このとき，$f(x)$の最小値は$\displaystyle [$41$] \frac{[$42$]}{[$43$]}$である．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$（ただし，$a,\ b,\ c$は定数）がある．すべての実数$x$について$3f(x)+4f^\prime(x)=-2x^2+5x+7$が常に成立するとき，
\[ a=[$44$] \frac{[$45$]}{[$46$]},\quad b=[$47$] \frac{[$48$][$49$]}{[$50$]},\quad c=[$51$] \frac{[$52$][$53$]}{[$54$][$55$]} \]
である．
(4)$2$つの関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{3}{a}$および$\displaystyle g(x)=ax^2+7x+\frac{6}{a}$がある（ただし，$a$は正の定数）．$xy$平面上の$4$つのグラフ$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=0$および$x=1$で囲まれる図形の面積は$a=[$56$] \sqrt{[$57$]}$のとき最小値$[$58$]+[$59$] \sqrt{[$60$]}$をとる．
私立 武庫川女子大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$～$[$18$]$にあてはまる数字を入れよ．
$2$次関数$f(x)=ax^2-2ax+2a^2+4a+1$（ただし，$a$は$a \neq 0$を満たす実数）とする．
(1)$y=f(x)$のグラフの頂点の$x$座標は$[$1$]$であり，$y$座標は
\[ [$2$]a^2+[$3$]a+[$4$] \]
である．
(2)$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標が負となるとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ -[$5$]<a<-\frac{[$6$]}{[$7$]} \]
である．
(3)$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標は
$\displaystyle a=-\frac{[$8$]}{[$9$]}$のとき，最小値$\displaystyle -\frac{[$10$]}{[$11$]}$をとる．
(4)$2$次方程式$f(x)=0$が負の解をもつとき，$a$のとり得る値の範囲は，
\[ a<\frac{-[$12$]-\sqrt{[$13$]}}{[$14$]},\quad \frac{-[$15$]+\sqrt{[$16$]}}{[$17$]}<a<[$18$] \]
である．
$2$次関数$f(x)=ax^2-2ax+2a^2+4a+1$（ただし，$a$は$a \neq 0$を満たす実数）とする．
(1)$y=f(x)$のグラフの頂点の$x$座標は$[$1$]$であり，$y$座標は
\[ [$2$]a^2+[$3$]a+[$4$] \]
である．
(2)$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標が負となるとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ -[$5$]<a<-\frac{[$6$]}{[$7$]} \]
である．
(3)$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標は
$\displaystyle a=-\frac{[$8$]}{[$9$]}$のとき，最小値$\displaystyle -\frac{[$10$]}{[$11$]}$をとる．
(4)$2$次方程式$f(x)=0$が負の解をもつとき，$a$のとり得る値の範囲は，
\[ a<\frac{-[$12$]-\sqrt{[$13$]}}{[$14$]},\quad \frac{-[$15$]+\sqrt{[$16$]}}{[$17$]}<a<[$18$] \]
である．
私立 上智大学 2014年 第2問$a$を$0$以上の実数とする．区間$0 \leqq x \leqq 3$において，関数$f(x)$を
$0 \leqq x \leqq 1$のとき，$f(x)=-ax^2+1$
$1<x \leqq 3$のとき，$f(x)=-ax^2+x$
とする．各$a$に対して，$f(x)$の最大値を$M(a)$，最小値を$m(a)$とおく．
(1)$M(a)-m(a)$は，
$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{[ツ]}{[テ]}$のとき，$[ト]a+[ナ]$
$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}<a \leqq \frac{[ニ]}{[ヌ]}$のとき，$\displaystyle \frac{[ネ]a^2+[ノ]a+1}{[ハ]a}$
$\displaystyle a>\frac{[ニ]}{[ヌ]}$のとき，$[ヒ]a+[フ]$
である．
(2)$M(a)-m(a)$は，$\displaystyle a=\frac{[ヘ]}{[ホ]}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$をとる．
$0 \leqq x \leqq 1$のとき，$f(x)=-ax^2+1$
$1<x \leqq 3$のとき，$f(x)=-ax^2+x$
とする．各$a$に対して，$f(x)$の最大値を$M(a)$，最小値を$m(a)$とおく．
(1)$M(a)-m(a)$は，
$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{[ツ]}{[テ]}$のとき，$[ト]a+[ナ]$
$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}<a \leqq \frac{[ニ]}{[ヌ]}$のとき，$\displaystyle \frac{[ネ]a^2+[ノ]a+1}{[ハ]a}$
$\displaystyle a>\frac{[ニ]}{[ヌ]}$のとき，$[ヒ]a+[フ]$
である．
(2)$M(a)-m(a)$は，$\displaystyle a=\frac{[ヘ]}{[ホ]}$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$をとる．
私立 上智大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)整式$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$は，$x^2+3$で割ると余りは$x+3$であり，$x^2+x+2$で割ると余りは$3x+5$である．このとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=[ウ],\quad d=[エ] \]
である．
(2)$x$の関数
\[ f(x)=(\log_2 x)^2+\log_2 (\sqrt{2}x) \]
は，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$のとき最小値$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$をとる．
(3)総数$100$本のくじがあり，その当たりくじの賞金と本数は下の表の通りである．この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値は$[ケ]$円であり，$2$本のくじを同時に引くときの賞金の合計金額の期待値は$[コ]$円である．
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
& 賞金 & 本数 \\ \hline
$1$等 & $1000$円 & $1$本 \\ \hline
$2$等 & $500$円 & $2$本 \\ \hline
$3$等 & $200$円 & $5$本 \\ \hline
はずれ & $0$円 & $92$本 \\ \hline
\end{tabular}
(1)整式$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$は，$x^2+3$で割ると余りは$x+3$であり，$x^2+x+2$で割ると余りは$3x+5$である．このとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=[ウ],\quad d=[エ] \]
である．
(2)$x$の関数
\[ f(x)=(\log_2 x)^2+\log_2 (\sqrt{2}x) \]
は，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$のとき最小値$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$をとる．
(3)総数$100$本のくじがあり，その当たりくじの賞金と本数は下の表の通りである．この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値は$[ケ]$円であり，$2$本のくじを同時に引くときの賞金の合計金額の期待値は$[コ]$円である．
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
& 賞金 & 本数 \\ \hline
$1$等 & $1000$円 & $1$本 \\ \hline
$2$等 & $500$円 & $2$本 \\ \hline
$3$等 & $200$円 & $5$本 \\ \hline
はずれ & $0$円 & $92$本 \\ \hline
\end{tabular}
私立 上智大学 2014年 第3問$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}(x^3-3x^2-9x+3)$とする．
(1)関数$f(x)$は，$x=[テ]$で極大値$[ト]$をとり，$x=[ナ]$で極小値$[ニ]$をとる．
(2)$y=f(x)$のグラフと$y$軸との交点における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[ヌ]}{[ネ]}x+\frac{[ノ]}{[ハ]}$である．
(3)実数からなる集合
\[ A=\{x \;|\; f(x)>0 \},\quad B=\{x \;|\; x \geqq b\} \]
を考える．ただし，$b$は整数とする．
(i) $A \subset B$となる最大の整数$b$は$[ヒ]$である．
(ii) $B \subset A$となる最小の整数$b$は$[フ]$である．
(iii) $b \in A$であり，$B \subset A$とならない整数$b$は$[ヘ]$個ある．
(1)関数$f(x)$は，$x=[テ]$で極大値$[ト]$をとり，$x=[ナ]$で極小値$[ニ]$をとる．
(2)$y=f(x)$のグラフと$y$軸との交点における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[ヌ]}{[ネ]}x+\frac{[ノ]}{[ハ]}$である．
(3)実数からなる集合
\[ A=\{x \;|\; f(x)>0 \},\quad B=\{x \;|\; x \geqq b\} \]
を考える．ただし，$b$は整数とする．
(i) $A \subset B$となる最大の整数$b$は$[ヒ]$である．
(ii) $B \subset A$となる最小の整数$b$は$[フ]$である．
(iii) $b \in A$であり，$B \subset A$とならない整数$b$は$[ヘ]$個ある．
私立 上智大学 2014年 第1問関数$f(x)$を
\[ f(x)=a \sin 2x-\sin x+\cos x \]
とする．ただし，$a$を負の実数とする．
(1)$t=-\sin x+\cos x$とおくと，$f(x)$は$t$を用いて
\[ [ア]at^2+[イ]t+[ウ]a \]
と表される．
(2)$f(x)$は，$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \sqrt{[カ]}<a<0$のとき，
最大値$[キ]a+\sqrt{[ク]}$
最小値$[ケ]a+[コ] \sqrt{[サ]}$
をとり，$\displaystyle a \leqq \frac{[エ]}{[オ]} \sqrt{[カ]}$のとき，
最大値$[シ]a+\sqrt{[ス]}$
最小値$\displaystyle [セ]a+\frac{1}{[ソ]a}$
をとる．
\[ f(x)=a \sin 2x-\sin x+\cos x \]
とする．ただし，$a$を負の実数とする．
(1)$t=-\sin x+\cos x$とおくと，$f(x)$は$t$を用いて
\[ [ア]at^2+[イ]t+[ウ]a \]
と表される．
(2)$f(x)$は，$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \sqrt{[カ]}<a<0$のとき，
最大値$[キ]a+\sqrt{[ク]}$
最小値$[ケ]a+[コ] \sqrt{[サ]}$
をとり，$\displaystyle a \leqq \frac{[エ]}{[オ]} \sqrt{[カ]}$のとき，
最大値$[シ]a+\sqrt{[ス]}$
最小値$\displaystyle [セ]a+\frac{1}{[ソ]a}$
をとる．
私立 東京理科大学 2014年 第3問$a$を正の実数として，
\[ f(x)=\frac{ax+1}{x^2+2} \]
とおく．$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{4}{3}$で極値をとるとする．
(1)$a$の値は$[ア][イ]$である．
(2)$f(x)$の最小値は$-[ウ]$であり，そのときの$x$の値は$\displaystyle -\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)$k$を実数として，座標平面上で曲線$y=f(x)$と直線$y=k$を考える．その共有点がただ$1$つになるのは，$\displaystyle k=-[カ],\ [キ],\ \frac{[ク]}{[ケ]}$のときである．
\[ f(x)=\frac{ax+1}{x^2+2} \]
とおく．$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{4}{3}$で極値をとるとする．
(1)$a$の値は$[ア][イ]$である．
(2)$f(x)$の最小値は$-[ウ]$であり，そのときの$x$の値は$\displaystyle -\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)$k$を実数として，座標平面上で曲線$y=f(x)$と直線$y=k$を考える．その共有点がただ$1$つになるのは，$\displaystyle k=-[カ],\ [キ],\ \frac{[ク]}{[ケ]}$のときである．