関数$f(x)=|x^2-1|-2x$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$-2 \leqq x \leqq 2$のとき，関数$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 f(x) \, dx$の値を求めよ．

$x$の関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}ax^2-a$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値を$g(a)$とおく．ただし，$a$は実数とする．

(1)$g(a)$を求めよ．
(2)$g(a)$の最小値と，その時の$a$を求めよ．

$e$を自然対数の底とする．関数$y=xe^{2x}$のグラフを曲線$C$とおき，点$(1,\ e^2)$における$C$の接線を$\ell$とする．次の各問に答えよ．

(1)$\ell$の方程式は$y=e^2([ア]x-[イ])$である．

(2)$\displaystyle \int_0^1 e^{2x} \, dx=\frac{e^2-[ウ]}{[エ]}$である．また，$\displaystyle \int_0^1 xe^{2x} \, dx=\frac{e^2+[オ]}{[カ]}$である．

(3)曲線$C$，接線$\ell$と$y$軸とで囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キ]e^2+1}{[ク]}$である．

次の問いに答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{7})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})=[アイ]$
(2)関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+5$が，$x=-2$で極大値を，$x=1$で極小値をとるなら，
\[ a=\frac{[$*$ ウ]}{[エ]},\quad b=[$*$ オ] \]
である．
(3)座標平面上に原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}(3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$があり，点$\mathrm{P}$は$t$を実数として，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
を満たす．$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[カキ]}{[クケ]}$のときである．
このとき$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$のなす角は${[コサ]}^\circ$である．
(4)$1$階，$2$階，$4$階，$5$階にだけ停止する荷物用のエレベーターで，$1$階にある$10 \, \mathrm{kg}$，$20 \, \mathrm{kg}$，$30 \, \mathrm{kg}$の$3$個の荷物の全てを上階に運ぶ．一つの階に運ばれる荷物が複数個や$0$個になることを認めると，荷物の運び方は$[シス]$通りである．$10 \, \mathrm{kg}$を$1$階分上げるごとに$1$単位の電力が必要であると仮定すると，$3$個の荷物を上げるために必要な電力の期待値は$[セソ]$単位である．

$m$を定数とする．$2$次関数$f(x)=x^2-2mx+m^2-4m$について，以下の問に答えよ．

(1)$m=3$のとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$において，$f(x)$の最大値が$2$，最小値が$-4m$となるような$m$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)不等式
\[ 1+\frac{1}{\log_2 x}-\frac{3}{\log_3 x}<0 \]
を解くと，
\[ [タ]<x<\frac{[チツ]}{[テ]} \]
である．
(2)関数$f(x)=8^x+8^{-x}-5(4^x+4^{-x})+6(2^x+2^{-x})$がある．ただし，$x$は全ての実数を動く．

(i) $2^x+2^{-x}=t$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲は$t \geqq [$*$ ト]$である．
(ii) $4^x+4^{-x}$，$8^x+8^{-x}$を$t$の式で表すと
\[ 4^x+4^{-x}=t^2+[$* ナ$],\quad 8^x+8^{-x}=t^3+[$* ニ$]t \]
である．
(iii) $f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=t^3+[$*$ ス]t^2+[$*$ ネ]t+[$*$ ノハ]$である．
\mon[$\tokeishi$] $f(x)$の最小値は$[$*$ ヒ]$である．

実数$\alpha,\ \beta$に対し，$\alpha,\ \beta$の大きいか等しい方を$\max \{\alpha,\ \beta\}$で表す．例えば，$\max \{1,\ 2\}=2$，$\max \{3,\ 3\}=3$である．$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$0 \leqq x \leqq 1$で$\displaystyle f(x)=\max \left\{ x,\ \frac{1}{2}(1-x) \right\}$とすると，
$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{[フ]}{[ヘ]}$のとき \quad $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(1-x)$，
$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}<x \leqq 1$のとき \quad $f(x)=x$

である．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$で$f(x)=\max \{\sin x,\ \cos x\}$とすると，
$\displaystyle \frac{[ホ]}{[マ]} \pi \leqq x \leqq \frac{[ミ]}{[ム]} \pi$のとき \quad $\displaystyle f(x)=\sin x$，

それ以外の$x$では \quad $f(x)=\cos x$
である．
(3)$f(x)=\max \{2x^2-3x+a,\ -x^2+5x\}$とする．
$0 \leqq x \leqq 1$で$f(x)=2x^2-3x+a$となるのは，$a \geqq [$*$ メ]$のときである．
(4)$a>0$とする．$0 \leqq x \leqq 1$で$\displaystyle f(x)=\max \left\{ ax,\ \frac{1}{2}(1-ax) \right\}$を考える．このとき，
$\displaystyle I(a)=\int_0^1 f(x) \, dx$を計算すると，

$\displaystyle 0<a \leqq \frac{[モ]}{[ヤ]}$のとき \quad $\displaystyle I(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( 1+\frac{[$*$ ラ]}{[リ]}a \right)$，

$\displaystyle \frac{[モ]}{[ヤ]}<a$のとき \quad $\displaystyle I(a)=\frac{[ル]}{[レ]}a+\frac{[$*$ ロ]}{[ワヲ]a}$

である．

関数$f(x)$は$x>0$において$f(x)>0$であり，$x$軸，$y$軸，$y=f(x)$，および$x=a (a>0)$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とすると，$\displaystyle S(a)=\frac{1}{4}a^2+a$である．また，関数$g(x)$は$x>0$において$g(x)<0$であり，$x$軸，$y$軸，$y=g(x)$，および$x=a (a>0)$で囲まれた部分の面積を$T(a)$とすると，$\displaystyle T(a)=\frac{1}{3}a^3-a^2+2a$である．

(1)$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=1$，$x=2$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[ノ][ハ]}{[ヒ][フ]}$である．
(2)$f(1)-g(1)$の値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．
(3)$x>0$において，$f(x)-g(x)$の最小値は$\displaystyle \frac{[マ][ミ]}{[ム][メ]}$である．

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{e^x+1}-\frac{1}{3}$として$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t) \, dt$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

次の問について，答えを$[　]$に記入せよ．

(1)$x=3+\sqrt{5}$，$y=3-\sqrt{5}$のとき，$4x^2+3xy+4y^2=[ア]$，$\displaystyle \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=[イ]$である．
(2)関数$f(x)=-x^2+8x+c (2 \leqq x \leqq 5)$の最小値が$1$のとき，$c=[ウ]$である．また，そのときの$f(x)$の最大値は$[エ]$である．
(3)放物線$C_1:y=(x-p)^2+q$が放物線$C_2:y=-x^2$に接するとき，$p,\ q$の満たす条件は$[オ]$である．これより，$p$がすべての実数値をとって変わるとき，$C_1$の頂点が描く軌跡は放物線であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2+x$と直線$\ell_1:y=-x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C$と$\ell_1$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C$，$\ell_1$および直線$\ell_2:x=-4$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．