$f(x)=|x+1|-|x^2+x|$とする．次の問に答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)関数$y=f(x) (-2 \leqq x \leqq 2)$の最大値および最小値を求めよ．
(3)定数$a$を$0 \leqq a \leqq 2$とするとき，方程式$f(x)=a$の解を求めよ．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$は$x=p$で極大値$f(p)$，$x=1$で極小値$-4$をとるものとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ p$は定数とする．次の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を$p$を用いて表せ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．接線$\ell$の傾きを$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$の接線$\ell$が点$(2p,\ f(2p))$を通るとき，$p$の値を求めよ．また，このとき極大値$f(p)$の値を求めよ．

$k$を正の定数とする．$f(x)=2x^3-12kx^2+18k^2x$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極大値および極小値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大となるグラフ上の点を通り，$x$軸と平行な直線が再びこのグラフと交わる点の座標を求めよ．
(3)区間$0 \leqq x \leqq 8$における$f(x)$の最大値を求めよ．

関数$y=f(x)=x^2-4x$のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$2$移動したときのグラフを表す関数を$y=g(x)$とする．また直線$L$を$y=ax-3a-7$（$a$は定数）とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$y=g(x)$を表す式を求めよ．
(2)$y=f(x)$と直線$L$が異なる$2$点で交わるための条件を求めよ．
(3)$y=g(x)$と直線$L$が接するとき，接点の座標を求めよ．

$f(x)=|x^2-8x+12|$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=4$のとき，$x$の値を求めよ．
(2)$3 \leqq x \leqq 7$のとき，$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$t \leqq x \leqq t+1$のとき，$f(x)$の最大値が$4$となるような$t$の値の範囲を求めよ．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

$a$を実数とする．極値を持つ$3$次関数$f(x)=x^3-ax$について考える．$3$次関数$y=f(x)$が極値を持つための$a$の満たすべき条件は$[ア]$であり，そのとき，極小値は$[イ]$である．このとき，座標平面で曲線$C:y=f(x)$上の原点以外の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における曲線$C$の接線$L$の方程式は$[ウ]$と表せる．また，曲線$C$と接線$L$の点$\mathrm{P}$以外の共有点$\mathrm{Q}$の$x$座標$q$は，$q=[エ]$となる．また，点$\mathrm{P}$と異なる曲線$C$上の点$\mathrm{R}(r,\ f(r))$における接線が接線$L$と平行であるとき，$r=[オ]$である．$\triangle \mathrm{PQR}$の面積$M$を求めると$M=[カ]$である．さらに，曲線$C$を$x$軸正の方向に$t (t>0)$だけ平行移動した曲線を$D$とするとき，この$2$曲線$C$と$D$とが異なる$2$つの共有点を持つための$t$の満たすべき条件は$[キ]$である．そのときの$2$つの共有点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすると，$\alpha=[ク]$であり，$\beta=[ケ]$となる．このとき，$2$曲線$C$と$D$とで囲まれる図形の面積$S$を求めると$S=[コ]$である．

$-2 \leqq t \leqq 2$のとき$x=t^2+t=f(t)$とする．

(1)$x$の値域を求めよ．
(2)$y=g(x)=-x^2+3x+1$の値域を求めよ．
(3)$\displaystyle z=h(y)=\frac{1}{2}y^2-4y$の値域を求めよ．

座標平面において$x$軸上を動く点$\mathrm{P}(a,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$K$とする．次の問いに答えよ．

(1)円$K$が直線$y=x-2$と接するときの$a$の値を求めよ．
(2)$t$を変数とする関数を，$\displaystyle F(t)=\int_t^1 \sqrt{1-x^2} \, dx (-1 \leqq t \leqq 1)$とする．$0 \leqq a<1$のとき，円$K$の内部と領域$x \leqq 0$の共通部分の面積を関数$F(t)$を用いて表せ．
(3)領域$D=\{(x,\ y) \;|\; x \geqq 0,\ y \geqq x-2 \}$とする．円$K$の内部と領域$D$との共通部分の面積が最大となるときの$a$の値を求めよ．

以下の設問の$[　]$に答えなさい．

(1)$a$を$1$より大きな実数，$e$を自然対数の底とし，$f(x)=a^x \log_e a$とする．このとき，曲線$y=f(x)$，直線$x=10$，$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いた式で表すと，$S=[$1$]$となる．
(2)$\displaystyle \sin x-\cos x=\frac{1}{2}$（ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$）のとき，$\sin^4 x-\cos^4 x$の値を求めると$[$2$]$となる．
(3)数列$\{a_n\}$を初項$2$，公差$7$の等差数列，数列$\{b_n\}$を初項$1$，公比$2$の等比数列とし，数列$\{c_n\}$の第$n$項を$c_n=a_nb_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いた式で表すと，$S_n=[$3$]$となる．また，$S_n=133132$となるのは$n=[$4$]$のときである．

$[ツ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

区間$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{2}{3} \pi$を定義域とする関数$f(\theta)=2 \sin^2 \theta+4 \sin \theta \cos \theta+4 \cos^2 \theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$は次の形に変形できる．
\[ f(\theta)=\sqrt{[ア]} \sin (2\theta+\alpha)+[イ] \]
ただし，$\alpha$は$\displaystyle \tan \alpha=\frac{[ウ]}{[エ]}$を満たし，$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}=\sqrt{[オ]}-[カ]$が成り立つ．
(2)$f(\theta)$は，$\displaystyle \theta=\frac{[キ]}{[ク]} \pi$のとき最小値$\displaystyle [ケ] \sqrt{[コ]}+\frac{[サ]}{[シ]}$をとり，
\[ \tan \theta=\frac{\sqrt{[ス]}-[セ]}{[ソ]} \]
を満たす$\theta$において最大値$\sqrt{[タ]}+[チ]$をとる．
(3)$k$を正の定数とすると，方程式$\displaystyle x^2+xy+\frac{1}{2}y^2=k$で表される図形は$[ツ]$である．この曲線と，
\[ x^2+y^2=4,\quad -1 \leqq x \leqq \sqrt{3},\quad y>0 \]
で表わされる弧が接するように$k$を定めると，$2$つの曲線の共通接線の傾きは$\displaystyle \frac{-\sqrt{[テ]}-[ト]}{[ナ]}$となる．

$[ツ]$の解答群
\[ ① \text{円} \qquad ② \text{放物線} \qquad ③ \text{楕円} \qquad ④ \text{双曲線} \]