「関数」について
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私立 広島修道大学 2014年 第3問$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$y=\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$について，次の問に答えよ．
(1)$\sin \theta+\cos \theta=t$とおくとき，$\displaystyle y=-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t$であることを示せ．
(2)$y$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$\sin \theta+\cos \theta=t$とおくとき，$\displaystyle y=-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t$であることを示せ．
(2)$y$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
私立 広島修道大学 2014年 第3問次の問に答えよ．
(1)関数$y=-2x^3-3x^2+12x$の極値を求め，そのグラフをかけ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$m$が実数のとき，次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ．
\[ \sin \theta(2 \cos^2 \theta-3 \sin \theta+10)-m=0 \]
(1)関数$y=-2x^3-3x^2+12x$の極値を求め，そのグラフをかけ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．$m$が実数のとき，次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ．
\[ \sin \theta(2 \cos^2 \theta-3 \sin \theta+10)-m=0 \]
私立 広島修道大学 2014年 第2問次の問に答えよ．
(1)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{B}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$x-3y+2=0$であり，点$\mathrm{C}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$4x+2y-5=0$である．このとき，$3$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の方程式を求めよ．
(2)$a$を定数とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^3-\frac{15}{4}x^2+8x+5$のグラフと直線$y=2x+a$が共有点を$3$個もち，それらの$x$座標がすべて正の数となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{B}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$x-3y+2=0$であり，点$\mathrm{C}$から対辺に下ろした垂線の方程式は$4x+2y-5=0$である．このとき，$3$直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の方程式を求めよ．
(2)$a$を定数とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^3-\frac{15}{4}x^2+8x+5$のグラフと直線$y=2x+a$が共有点を$3$個もち，それらの$x$座標がすべて正の数となるような$a$の値の範囲を求めよ．
私立 大阪薬科大学 2014年 第2問次の問いに答えなさい．
$t$を実数とする．座標平面上の$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，軸が$y$軸，頂点が原点$\mathrm{O}$の放物線であり，点$(-2,\ 1)$を通る．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(-1,\ 0)$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．
(1)$f(1)$の値は$[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$\ell$の方程式を$t$を用いて表すと，$y=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に外分する点$\mathrm{G}$の軌跡を求め，またそれを図示しなさい．
(4)$m$が$C$の接線となるとき，$t=[$\mathrm{G]$}$である．このとき，$C$と$\ell$および$m$で囲まれる部分の面積は$[$\mathrm{H]$}$である．
$t$を実数とする．座標平面上の$2$次関数$y=f(x)$のグラフ$C$は，軸が$y$軸，頂点が原点$\mathrm{O}$の放物線であり，点$(-2,\ 1)$を通る．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(-1,\ 0)$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．
(1)$f(1)$の値は$[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$\ell$の方程式を$t$を用いて表すと，$y=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に外分する点$\mathrm{G}$の軌跡を求め，またそれを図示しなさい．
(4)$m$が$C$の接線となるとき，$t=[$\mathrm{G]$}$である．このとき，$C$と$\ell$および$m$で囲まれる部分の面積は$[$\mathrm{H]$}$である．
私立 日本女子大学 2014年 第2問関数$\displaystyle f(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin x-ax)^2 \, dx$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2014年 第2問$a$を実数とする．関数$f(x)=x^3-ax$を考える．次の設問に答えよ．
(1)$f(x)$が区間$-1<x<1$において極値をとるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の区間$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値が$\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる$a$の値をすべて求めよ．
(1)$f(x)$が区間$-1<x<1$において極値をとるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の区間$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値が$\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる$a$の値をすべて求めよ．
私立 早稲田大学 2014年 第1問$2$つの関数
$f(x)=2x^3-3x^2-12x$
$g(x)=-9x^2+6x+a$
に対して，次の問に答えよ．ただし$a$は定数とする．
(1)$f(x)$の極大値および極小値を与える$x$の値をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とおく．$\alpha$および$\beta$の値を求めよ．
(2)任意の$x>\alpha$に対して，$f(x) \geqq g(x)$を満たす$a$の値の範囲を求めよ．
(3)任意の$x_1>\alpha$および任意の$x_2>\alpha$に対して，$f(x_1) \geqq g(x_2)$を満たす$a$の値の範囲を求めよ．
$f(x)=2x^3-3x^2-12x$
$g(x)=-9x^2+6x+a$
に対して，次の問に答えよ．ただし$a$は定数とする．
(1)$f(x)$の極大値および極小値を与える$x$の値をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とおく．$\alpha$および$\beta$の値を求めよ．
(2)任意の$x>\alpha$に対して，$f(x) \geqq g(x)$を満たす$a$の値の範囲を求めよ．
(3)任意の$x_1>\alpha$および任意の$x_2>\alpha$に対して，$f(x_1) \geqq g(x_2)$を満たす$a$の値の範囲を求めよ．
私立 津田塾大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=\sqrt{3} \cos^2 \theta+(1-\sqrt{3}) \cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$の最大値，最小値を求めよ．ただし，最大値，最小値をとる$\theta$の値は求めなくてよい．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n^2-4}$の和を求めよ．
(1)関数$y=\sqrt{3} \cos^2 \theta+(1-\sqrt{3}) \cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$の最大値，最小値を求めよ．ただし，最大値，最小値をとる$\theta$の値は求めなくてよい．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n^2-4}$の和を求めよ．
私立 津田塾大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$が，すべての$x$に対して$f^{\prime\prime}(x) \leqq 0$を満たすとする．このとき，
$(*)$ \quad $x_1<x_2<x_3$に対して $\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \geqq \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$
が成立することを示せ．
(2)関数$f(x)$が$(*)$を満たすとする．このとき，$a<b$を満たす実数$a,\ b$と$0<t<1$を満たす$t$に対して，
\[ f((1-t)a+tb) \geqq (1-t)f(a)+tf(b) \]
が成立することを示せ．
(1)関数$f(x)$が，すべての$x$に対して$f^{\prime\prime}(x) \leqq 0$を満たすとする．このとき，
$(*)$ \quad $x_1<x_2<x_3$に対して $\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \geqq \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$
が成立することを示せ．
(2)関数$f(x)$が$(*)$を満たすとする．このとき，$a<b$を満たす実数$a,\ b$と$0<t<1$を満たす$t$に対して，
\[ f((1-t)a+tb) \geqq (1-t)f(a)+tf(b) \]
が成立することを示せ．
私立 広島修道大学 2014年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)$(3x+2)(2x^2-5x+3)$を展開すると，$[$1$]$となる．
(2)男子$5$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，女子$3$人が続いて並ぶ方法は$[$2$]$通り，一端に男子，もう一端に女子が並ぶ方法は$[$3$]$通りある．
(3)$\displaystyle \frac{1+2i}{1-3i}+\frac{1-4i}{1+3i}=a+bi$（$a,\ b$は実数）と表すとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．
(4)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$個の数字を用いて$3$桁の整数をつくるとき，奇数は全部で$[$6$]$個できる．ただし，同じ数字を繰り返し用いてもよい．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=-2 \sin^2 \theta+8 \cos \theta+3$は，$\theta=[$7$]$のとき，最小値$[$8$]$をとる．
(6)不等式$\displaystyle \frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．また，$-2 \leqq x \leqq 0$において関数$\displaystyle y=\frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81$は，$x=[$10$]$のとき，最小値$[$11$]$をとる．
(1)$(3x+2)(2x^2-5x+3)$を展開すると，$[$1$]$となる．
(2)男子$5$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，女子$3$人が続いて並ぶ方法は$[$2$]$通り，一端に男子，もう一端に女子が並ぶ方法は$[$3$]$通りある．
(3)$\displaystyle \frac{1+2i}{1-3i}+\frac{1-4i}{1+3i}=a+bi$（$a,\ b$は実数）と表すとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．
(4)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$個の数字を用いて$3$桁の整数をつくるとき，奇数は全部で$[$6$]$個できる．ただし，同じ数字を繰り返し用いてもよい．
(5)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=-2 \sin^2 \theta+8 \cos \theta+3$は，$\theta=[$7$]$のとき，最小値$[$8$]$をとる．
(6)不等式$\displaystyle \frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81 \leqq 0$の解は$[$9$]$である．また，$-2 \leqq x \leqq 0$において関数$\displaystyle y=\frac{1}{9^x}-\frac{30}{3^x}+81$は，$x=[$10$]$のとき，最小値$[$11$]$をとる．