「関数」について
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私立 北星学園大学 2014年 第1問$f(x)=x^2-(a+1)x+a$とするとき，以下の問に答えよ．
(1)$f(x)$を因数分解せよ．
(2)$f(x)<0$となる$x$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)<0$を満たす整数解のないような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$f(x)$を因数分解せよ．
(2)$f(x)<0$となる$x$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)<0$を満たす整数解のないような定数$a$の値の範囲を求めよ．
私立 東北工業大学 2014年 第1問$x$の$2$次関数$y=x^2-4px+(4p+5)(p-1)$について考える．
(1)この関数のグラフの軸は直線$x=[ア][イ]p$である．
(2)$p=3$のとき，この関数は最小値$-[ウ][エ]$をとり，そのグラフと$y$軸との交点の$y$座標は$[オ][カ]$である．
(3)この関数のグラフが$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるとき，$[キ][ク]<p<[ケ][コ]$である．
(1)この関数のグラフの軸は直線$x=[ア][イ]p$である．
(2)$p=3$のとき，この関数は最小値$-[ウ][エ]$をとり，そのグラフと$y$軸との交点の$y$座標は$[オ][カ]$である．
(3)この関数のグラフが$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるとき，$[キ][ク]<p<[ケ][コ]$である．
私立 東北工業大学 2014年 第4問$3$次関数$f(x)=x^3-ax^2-3bx-10$がある．
(1)関数$f(x)$が$x=-2,\ 4$で極値をとるならば，$a=[マ][ミ]$，$b=[ム][メ]$である．
(2)関数$y=f(x)$のグラフが点$(3,\ -1)$を通り，この点における接線の傾きが$3$であるならば，$a=[モ][ヤ]$，$b=-[ユ][ヨ]$である．
(3)$a+b=0$のとき，関数$f(x)$が常に増加するならば，$0 \leqq a \leqq [ラ][リ]$である．
(1)関数$f(x)$が$x=-2,\ 4$で極値をとるならば，$a=[マ][ミ]$，$b=[ム][メ]$である．
(2)関数$y=f(x)$のグラフが点$(3,\ -1)$を通り，この点における接線の傾きが$3$であるならば，$a=[モ][ヤ]$，$b=-[ユ][ヨ]$である．
(3)$a+b=0$のとき，関数$f(x)$が常に増加するならば，$0 \leqq a \leqq [ラ][リ]$である．
私立 東北学院大学 2014年 第3問$a$を実数とし
\[ f(x)=\int_1^x (t-a)(t-x) \, dt \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=0$となる$x$を求めよ．
(3)$f(x)$の極値を$a$の範囲によって分けて求めよ．
\[ f(x)=\int_1^x (t-a)(t-x) \, dt \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=0$となる$x$を求めよ．
(3)$f(x)$の極値を$a$の範囲によって分けて求めよ．
私立 東北学院大学 2014年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\cos x-\frac{2}{3} \cos^3 x (0 \leqq x \leqq \pi)$について以下の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)=0$となる$x$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$を求めよ．
(1)$f^\prime(x)=0$となる$x$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$を求めよ．
私立 甲南大学 2014年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ x,\ y$は$0$でない実数，$i$は虚数単位とする．
\[ \left( x+\frac{1}{yi} \right) \cdot \frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+bi}=-\frac{d}{c}i \]
の関係があるとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$t$は$t>-1$を満たす定数とする．$-1 \leqq x \leqq t$における関数$f(x)=2x^2-4x+1$の最大値と最小値の差が$8$であるような$t$の値の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c,\ d,\ x,\ y$は$0$でない実数，$i$は虚数単位とする．
\[ \left( x+\frac{1}{yi} \right) \cdot \frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a}+bi}=-\frac{d}{c}i \]
の関係があるとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$t$は$t>-1$を満たす定数とする．$-1 \leqq x \leqq t$における関数$f(x)=2x^2-4x+1$の最大値と最小値の差が$8$であるような$t$の値の範囲を求めよ．
私立 甲南大学 2014年 第3問関数$f(x)=\sin x$，$g(x)=\cos x+1$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(1)曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$によって囲まれる図形$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$によって囲まれる図形$D$の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
私立 神戸薬科大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$4$次式$x^2+(x^2-1)^2$を複素数の範囲で因数分解すると$[ア]$である．
(2)不等式$x+2 \leqq |x^2-x-6|$を$x$について解くと$[イ]$である．
(3)関数$F(x)$が$F^\prime(x)=(3x+2)^2$，$F(0)=3$を満たすとき$F(x)=[ウ]$である．
(4)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n=\alpha^n-\beta^n$（$n$は自然数）とおく．このとき，$\displaystyle \frac{a_{10}-2a_8}{a_9}$の値を求めると$[エ]$である．
(1)$4$次式$x^2+(x^2-1)^2$を複素数の範囲で因数分解すると$[ア]$である．
(2)不等式$x+2 \leqq |x^2-x-6|$を$x$について解くと$[イ]$である．
(3)関数$F(x)$が$F^\prime(x)=(3x+2)^2$，$F(0)=3$を満たすとき$F(x)=[ウ]$である．
(4)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n=\alpha^n-\beta^n$（$n$は自然数）とおく．このとき，$\displaystyle \frac{a_{10}-2a_8}{a_9}$の値を求めると$[エ]$である．
私立 北海道薬科大学 2014年 第4問$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-3ax$（$a$は実数）が$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値（$\alpha,\ \beta$は実数）をとるとき，次の設問に答えよ．
(1)$a$の値の範囲は$a>[アイ]$である．
(2)$\alpha-\beta=[ウエ] \sqrt{a+[オ]}$である．
(3)$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$a$の値は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(1)$a$の値の範囲は$a>[アイ]$である．
(2)$\alpha-\beta=[ウエ] \sqrt{a+[オ]}$である．
(3)$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$a$の値は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}$である．
私立 獨協大学 2014年 第2問$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$y=\cos 2\theta-8 \cos \theta+12$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．