次の$[　]$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．

(1)座標平面上に曲線$C_1:y=x^2-1$がある．$x$軸に関して$C_1$に対称な曲線を$C_2$とすると，$C_2$を表す方程式は$[ケ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$とするとき，$-a \leqq x \leqq a$において，曲線$C_2$と直線$y=a^2-1$，および$2$直線$x=-a$，$x=a$で囲まれた図形の面積$S(a)$は，
\[ S(a)=[コ] \]
となる．$S(a)$は，$a=[サ]$のとき最大値$[シ]$をとる．
(2)関数$f(x)=8^x-6 \cdot 4^x+5 \cdot 2^x$を考える．$f(x)=-12$を満たす実数$x$をすべて求めると，$x=[ス]$となる．また，方程式$f(x)=k$が$3$つの実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$[セ]<k<[ソ]$である．

$x$に関する$3$つの関数$f_1(x)=x(15-x)$，$\displaystyle f_2(x)=\frac{x(30-x)}{2}$，$f_3(x)=x(17-x)$が与えられている．

(1)$x_1+x_2=c$，$x_1 \geqq 0$，$x_2 \geqq 0$という条件の下で$f_1(x_1)+f_2(x_2)$を最大にする問題を考える．ただし，$c$は$20$以下の正数とする．最大値$V(c)$を与える$x_1,\ x_2$の値をそれぞれ$p,\ q$とすると，$\displaystyle q=\frac{[$10$][$11$]}{[$12$][$13$]}c$である．$V(c)=42$となる$c$の値は$[$14$][$15$]$である．
(2)$x_1+x_2+x_3=20$，$x_1 \geqq 0$，$x_2 \geqq 0$，$x_3 \geqq 0$という条件の下で
\[ f_1(x_1)+f_2(x_2)+f_3(x_3) \]
を最大にする問題を考える．最大値を与える$x_1,\ x_2,\ x_3$の値をそれぞれ$p,\ q,\ r$とすると
\[ q=\frac{[$16$][$17$]}{[$18$][$19$]},\quad r=\frac{[$20$][$21$]}{[$22$][$23$]} \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)$x,\ y,\ z$は実数で$xyz \neq 0$とする．もし
\[ 2^x=3^y=[$1$][$2$]^z \]
ならば
\[ \frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{z} \]
である．
(2)関数$f(x)=x^2-2$に対して，$g(x)=f(f(x))$とおく．このとき，方程式$g(x)=x$の解は
\[ [$3$][$4$],\quad [$5$][$6$],\quad \frac{[$7$][$8$] \pm \sqrt{[$9$][$10$]}}{[$11$][$12$]} \]
である．ただし，最初の数は$2$番目の数より小とする．
(3)直線$y=-3x$上の点$\mathrm{P}$と，曲線$xy=2 (x>0)$上の点$\mathrm{Q}$の間の距離の最小値は
\[ \frac{[$13$] \sqrt{[$14$][$15$]}}{[$16$][$17$]} \]
である．

関数$f_1(x)$，$g_1(x)$をつぎのように定める．
\[ \begin{array}{l} f_1(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
1 & (x>1) \\
x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\
-1 & (x<-1)
\end{array} \right. \\ \\
g_1(x)=\displaystyle\frac{1}{2}(f_1(1+x)+f_1(1-x))
\end{array} \]
このとき
\[ \int_{-1}^1 g_1(x) \, dx=\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
である．

つぎに関数$f_2(x)$をつぎのように定める．
\[ f_2(x)=\int_0^x g_1(t) \, dt \]
このとき
\[ f_2(x)=x-\frac{x^2}{[$39$]} \quad (0 \leqq x \leqq 2),\quad \int_0^2 f_2(x) \, dx=\frac{[$40$]}{[$41$]} \]
を得る．さらに
\[ g_2(x)=\frac{1}{2}(f_2(1+x)+f_2(1-x)) \]
とおけば
\[ g_2(x)=\frac{[$42$]}{[$43$]}-\frac{[$44$]}{[$$45]}x+\frac{[$46$]}{[$47$]}x^2 \quad (1 \leqq x \leqq 3) \]
そして
\[ \int_{-3}^3 g_2(x) \, dx=[$48$][$49$] \]
を得る．

以下の$[ト]$，$[ナ]$，$[ニ]$には三角関数は$\sin \theta$と$\cos \theta$のみを用いて記入し，$[ヌ]$には$x$の式，$[ネ]$には$y$の式を記入すること．

座標平面上の$2$点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を結ぶ曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=f(\theta) \\
y=g(\theta)
\end{array} \right. \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と表されているとする．いま，関数$f(\theta)$，$g(\theta)$は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で連続，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$で微分可能かつ$f^\prime(\theta) \neq 0$であるとする．また$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，点$(f(\theta),\ g(\theta))$における曲線$C$の接線の傾きが$-\tan \theta$であり，この接線から$x$軸，$y$軸で切り取られる線分の長さがつねに一定で$1$であるとする．
まず，この曲線$C$の方程式を求めたい．$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，曲線$C$上の点$(f(\theta),\ g(\theta))$における接線を$y=-(\tan \theta)x+h(\theta)$と表すと$h(\theta)=[ト]$となる．この接線の傾きが$\displaystyle \frac{g^\prime(\theta)}{f^\prime(\theta)}$となることより，$f(\theta)=[ナ]$，$g(\theta)=[ニ]$となる．したがって，曲線$C$を$x,\ y$の方程式で表すと
\[ [ヌ]+[ネ]=1 \quad (x \geqq 0,\ y \geqq 0) \]
となる．
次に，点$(f(\theta),\ g(\theta))$における曲線$C$の法線を$\ell(\theta)$とする．$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{4}$のとき$\ell(\theta)$と$\displaystyle \ell \left( \frac{\pi}{4} \right)$との交点の$x$座標を$X(\theta)$とすると，$\displaystyle \lim_{\theta \to \frac{\pi}{4}} X(\theta)=[ノ]$となる．
また，曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積は$[ハ]$である．

$a$を実数とする．$2$次関数
\[ f(x)=x^2-ax+1 \]
の区間$0 \leqq x \leqq 1$における最大値を$M(a)$，最小値を$m(a)$と表す．

(1)$2$つの関数$b=M(a)$と$b=m(a)$のグラフをかけ．
(2)$b$を実数とする．$2$次方程式
\[ x^2-ax+1-b=0 \]
が区間$0 \leqq x \leqq 1$において少なくとも$1$つの解を持つような点$(a,\ b)$全体の集合を，$(1)$を用いて斜線で図示せよ．

$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数$F(x)$を
\[ F(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c \]
と定め，
\[ f(x)=F^\prime(x) \]
とおく．関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大に，$x=\beta$において極小になるとする．点$(\alpha,\ f(\alpha))$，$(\beta,\ f(\beta))$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とする．

(1)直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は
\[ \left( \frac{[$15$]}{[$16$]} \alpha+\frac{[$17$]}{[$18$]} \beta,\ \frac{[$19$][$20$]}{[$21$]} (\beta-\alpha)^2 \right) \]
である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{[$22$]}{[$23$][$24$]} (\beta-\alpha)^3 \]
である．必要なら次の公式を使ってよい．$r$を実数とすると
\[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3)実数$a,\ b$が不等式
\[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \]
をみたす範囲を動くとき，$S$の最大値は$\displaystyle \frac{[$25$][$26$]}{[$27$]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[$28$][$29$]}{[$30$]}$である．

関数$\displaystyle y=\frac{ax+b}{x^2+x+1}$が$x=2$で最大値$1$をとるとき，$a-b$の値を求めよ．

関数$y=ax^4-4ax^3+b$（$a,\ b$とも実数，$a>0$）の$1 \leqq x \leqq 4$における最大値が$3$，最小値が$-24$となるとき，$a+b$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(t)=\int_0^\pi (x-t \sin x)^2 \, dx$とする（$t$は実数）．$f(t)$が最小となるときの$t$の値を求めよ．