関数$\displaystyle f(x)=\frac{3 \sqrt{3}}{\sin x}-\frac{1}{\cos x} \left( 0<|x|<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は，$3$次式$P(t)=t(2t^2-1)$を用いて，
\[ f^{\prime\prime}(x)=3 \sqrt{3} P \left( \frac{1}{\sin x} \right)-P \left( \frac{1}{\cos x} \right) \]
と表されることを示せ．また，$\displaystyle 0<x_1<x_2<\frac{\pi}{2}$のとき$f^{\prime\prime}(x_1)>f^{\prime\prime}(x_2)$となることを示せ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解は何個あるか．$k$の値によって分類せよ．
(4)$y=f(x)$の変曲点はただ$1$つ存在することを示せ．また，この変曲点が第何象限にあるか，調べよ．

関数
\[ f(x)=\int_0^x |(t-1)(t-2)| \, dt-|\int_0^x (t-1)(t-2) \, dt| \]
に対して，$y=f(x) (x>0)$のグラフをかきなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

$\displaystyle f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x^2+1}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$a_1=2$とし，$f(x)=x^2-3$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a_1,\ f(a_1))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_2$とする．以下同様に，$n=3,\ 4,\ \cdots$に対して，曲線$y=f(x)$上の点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_n$とする．数列$\{a_n\}$に対して，次の問いに答えよ．

(1)$a_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(3)$a_n \geqq \sqrt{3}$を示せ．
(4)$\displaystyle a_n-\sqrt{3} \leqq {\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1} (2-\sqrt{3})$を示し，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x^2+1}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$a$を実数とし，$f(x)=x^2+ax+a+3$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2+ax+a+3=0$が正の実数解のみをもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$の頂点の$y$座標を$g(a)$とする．このとき，$a$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$g(a)$の最大値を求めよ．

関数
\[ f(x)=3^{3x-1}+3^{-3x-1}-3^{2x}-3^{-2x}-2 \cdot 3^x-2 \cdot 3^{-x}-2 \]
と$t=3^x+3^{-x}$について次の問に答えよ．

(1)$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$3^{3x}+3^{-3x}$と$3^{2x}+3^{-2x}$を$t$の式で表し，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(3)$f(x)$の最小値を求めよ．
(4)$a$を実数とするとき，$f(x)=a$をみたす$x$の個数を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{{(1+i)}^3}{-2+3i}=a+bi$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(2)$3$つの行列の積$\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
1 \\
4
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
2 & 3
\end{array} \right)$を計算せよ．
(3)$f(x)={(x+4)}^{\frac{5}{6}}{(3x+2)}^{\frac{4}{3}}$とする．関数$f(x)$の$x=0$における微分係数$f^\prime(0)$を求めよ．
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos \frac{k \pi}{3n}$を求めよ．

サイコロを$2$回続けて振って出た目の数を順に$a,\ b$とする．このとき，$3$次関数$f(x)=x^3-ax+b$について以下の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の極大値と極小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$3$次方程式$f(x)=0$が相異なる実数解をちょうど$2$つ持つような$a,\ b$の組を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$の組に対して，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)$f(x)=0$が相異なる$3$つの実数解を持つ確率を求めよ．

座標平面において，不等式$y \geqq x^2$の表す領域を$D$とし，$D$内の点$(a,\ b)$に対して連立不等式
\[ y \geqq x^2,\quad x \geqq a,\quad b \geqq y \]
の表す領域を$E(a,\ b)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)領域$E(a,\ b)$の面積$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)曲線$4y=(x+1)^2$上の点$(2t-1,\ t^2)$が領域$D$内を動くとき，実数$t$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$で求めた範囲の$t$に対して，領域$E(2t-1,\ t^2)$の面積を$f(t)$とするとき，関数$f(t)$を$t$の式で表せ．
(4)$(3)$で定めた関数$f(t)$の最大値を求めよ．