$k>0$とし，$f(x)=x(x+k)(x+2k)$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)関数$f(x)$は異なる$2$つの極値をもつことを示しなさい．
(2)曲線$C$上の極値をとる点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(3)点$\mathrm{R}$が曲線$C$上にあることを示し，点$\mathrm{R}$における曲線$C$の接線の方程式を求めなさい．

$a,\ b$を実数とし，$f(x)=(ax+b \cos x) \sin x$とおく．関数$f(x)$が
\[ f^\prime(0)=2,\quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx=4 \]
をみたすとき，$a,\ b$の値を求めなさい．

次の各問いに答えなさい．

(1)$n$本中$k$本の当たりが入ったクジを$n$人で順番に引く．引いたクジは元に戻さないとして，$i$番目にクジを引く人の当たる確率が$\displaystyle \frac{k}{n}$であることを示しなさい．ただし，$0<k<n$とする．
(2)関数$y_1=\sin x$と$y_2=2 \sin (a-x)$について，$y=y_1+y_2$の最大値が$\sqrt{7}$になるとき，定数$a$の値を求めなさい．
(3)放物線$y=ax^2$と直線$y=bx$で囲まれる部分の面積を$2$等分する直線$x=p$を求めなさい．ただし，$a,\ b>0$とする．

関数$s(t)$はつねに$s^\prime(t)>0$をみたし，$s(0)=0$とする．座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$は，時刻$t$の関数として$x=s(t)$，$\displaystyle y=\frac{1}{2} \{s(t)\}^2$で与えられ，点$\mathrm{P}$の速度$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$は
\[ |\overrightarrow{v}|=\frac{1}{\sqrt{1+\{s(t)\}^2}} \]
をみたすとする．また，$\displaystyle \alpha=s \left( -\frac{4}{3} \right)$，$\displaystyle \beta=s \left( \frac{4}{3} \right)$とおく．次に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(x)$が成り立つように関数$f(x)$を定めよ．
(2)$\displaystyle \frac{4}{3}=\int_{-\frac{4}{3}}^0 \frac{1}{f(x)} \frac{dx}{dt} \, dt$，$\displaystyle \frac{4}{3}=\int_0^{\frac{4}{3}} \frac{1}{f(x)} \frac{dx}{dt} \, dt$を用いて，$\alpha$と$\beta$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=g(x)$が成り立つように関数$g(x)$を定めよ．また，$\alpha \leqq x \leqq \beta$のとき$g(x)$が最大となる$x$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$3$次関数$f(x)=x^3-x^2+12$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{1}{12}({a_n}^3-{a_n}^2+12) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，すべての自然数$n$に対して，$1<a_n<3$が成り立つことを示せ．
(3)$\{a_n\}$を$(2)$で定められた数列とするとき，すべての自然数$n$に対して，$a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示せ．

次の問に答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int t \sin t \, dt$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\displaystyle\frac{2|{3}\pi-2t} \sin t \, dt$を求めよ．
(3)関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |x-2t| \sin t \, dt$で定める（$0 \leqq x \leqq \pi$）．$f(x)$の最大値，最小値を求め，それらを与える$x$の値をそれぞれ求めよ．

関数$f(x)=e^{\sqrt{2} \sin x}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)$a$を実数とする．関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とするとき，$x$の方程式$f^\prime(x)=a$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$における実数解の個数を求めよ．

関数
\[ f(x)=\int_a^x \left( a+1-|t| \right) e^{-t} \, dt \]
を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$x \geqq 0$と$x \leqq 0$の場合に，関数$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の極値と変曲点を求めよ．
(3)$x \geqq 1$のとき，$e^x>x^2$となることを示せ．また，$\displaystyle g(x)=\int_a^x f(t) \, dt$とおくとき，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)=\int_0^a |f(x)| \, dx$をみたす$a$の値を求めよ．

座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$を第$1$象限に，点$\mathrm{B}$を$x$軸の正の部分に，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}=1$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．

(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=-\tan x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$，$\displaystyle g(x)=\sin 2x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$について，次に答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$，$\displaystyle \int \tan^2 x \, dx$を求めよ．
(2)$b>0$とする．曲線$y=g(x)$および$3$直線$y=-b$，$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$y=-b$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_1$を$b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$のとき，不等式$f(x)+g(x) \geqq 0$を示せ．
(4)$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を直線$\displaystyle y=-\frac{1}{\sqrt{3}}$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_2$を求めよ．