サイコロを$3$回振り，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=3ax^2-2bx+3c \]
と定める．以下の問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$が$x=1$を解にもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつ確率を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$(a,\ b,\ c)$の組について考える．このとき，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．また，$S$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示せ．
(2)$f(x)=x^2 \log x (x>0)$とおく．$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=0$を示せ．
(3)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(4)$\displaystyle I(t)=\int_t^2 f(x) \, dx (t>0)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to +0}I(t)$を求めよ．

曲線$y=f(x)=x^3-3x^2+x+6$を$C_1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$の接線で点$(-1,\ f(-1))$を通るもののうち，傾きの小さいものを$\ell_1$，傾きの大きいものを$\ell_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$g(x)$を$x$の$2$次式とし，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．曲線$C_2$が，曲線$C_1$と直線$\ell_1$の共有点および曲線$C_1$と直線$\ell_2$の共有点を通るとき，$g(x)$を求めよ．
(3)曲線$C_2$と直線$\ell_1,\ \ell_2$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$a$は定数で$0 \leqq a \leqq 1$とする．$3$次関数$f(x)=(x+1)x(x-a)$および$g(x)=f(x-1)$を考える．

(1)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$のすべての交点の$x$座標を求めよ．
(2)$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分を$A$とする．$A$の面積$S(a)$および$A$の$x \leqq a$をみたす部分の面積$S_1(a)$を求めよ．
(3)$(2)$の$A$で不等式$x \geqq a$をみたす部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_2(a)$が最大となるときの$a$の値とその最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=e^{1+\sin^2 x}$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)条件$a_1=1$，$a_2=2$，$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．

曲線$C$は媒介変数$t (0 \leqq t \leqq 2\pi)$によって，$x=t-\sin t$，$y=1-\cos t$と表される．

(1)$x$は$t$の関数として増加関数であることを示せ．
(2)$0<t<2\pi$のとき，$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$t$を用いた式で表せ．また，$y$の$x$に関する増減を調べよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \cos^2 t \, dt$および$\displaystyle \int \cos^3 t \, dt$を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

関数$f(x)$と$g(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
|x \log \abs{x|} & (x \neq 0) \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
0 \phantom{\frac{[　]}{2}} & (x=0)
\end{array} \right. \]
\[ g(x)=-x^2+1 \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．
(2)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1,\ 1$のみであることを示せ．
(4)$0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x \geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{r \to +0} S(r)$を求めよ．

$k>0$とし，$f(x)=x(x+k)(x+2k)$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)関数$f(x)$は異なる$2$つの極値をもつことを示しなさい．
(2)曲線$C$上の極値をとる点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(3)点$\mathrm{R}$が曲線$C$上にあることを示し，点$\mathrm{R}$における曲線$C$の接線の方程式を求めなさい．

$a,\ b$を実数とし，$f(x)={2}^{2x-1}-a \cdot {2}^x+b$とおく．

(1)$a=3,\ b=4$のとき，方程式$f(x)=0$の解を求めなさい．
(2)$a>0,\ b=0$のとき，方程式$f(x)=0$の解を求めなさい．
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつとき，点$(a,\ b)$の表す領域を図示しなさい．

$k>0$とし，$f(x)=x(x+k)(x+2k)$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)関数$f(x)$は異なる$2$つの極値をもつことを示しなさい．
(2)曲線$C$上の極値をとる点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．
(3)点$\mathrm{R}$が曲線$C$上にあることを示し，点$\mathrm{R}$における曲線$C$の接線の方程式を求めなさい．