「関数」について
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国立 三重大学 2014年 第1問以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数である．
(1)$2$曲線$y=(x+1)(x-3)$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
(2)関数$y=|(x+1)(x-3)|$のグラフをかけ．
(3)$2$曲線$y=|(x+1)(x-3)|$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
(1)$2$曲線$y=(x+1)(x-3)$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
(2)関数$y=|(x+1)(x-3)|$のグラフをかけ．
(3)$2$曲線$y=|(x+1)(x-3)|$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
国立 三重大学 2014年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\sin \left( \frac{3}{2}x \right)+\frac{3}{4}x$と$\displaystyle g(x)=\frac{3}{4}x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(1)$f(x)$の増減，凹凸を調べ，極値を求めよ．また，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$f(x)$の増減，凹凸を調べ，極値を求めよ．また，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\sin \left( \frac{3}{2}x \right)+\frac{3}{4}x$と$\displaystyle g(x)=\frac{3}{4}x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする．
(1)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 徳島大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=x-\frac{2}{x}$のグラフの概形をかけ．
(2)不等式$\displaystyle |x-\displaystyle\frac{2|{x}}<1$を解け．
(1)関数$\displaystyle y=x-\frac{2}{x}$のグラフの概形をかけ．
(2)不等式$\displaystyle |x-\displaystyle\frac{2|{x}}<1$を解け．
国立 徳島大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=x-\frac{2}{x}$のグラフの概形をかけ．
(2)不等式$\displaystyle |x-\displaystyle\frac{2|{x}}<1$を解け．
(1)関数$\displaystyle y=x-\frac{2}{x}$のグラフの概形をかけ．
(2)不等式$\displaystyle |x-\displaystyle\frac{2|{x}}<1$を解け．
国立 大阪教育大学 2014年 第4問以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$を$\sin x$と$\cos x$を用いて表せ．
(2)$f(x)=\sin^3 x$の導関数を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} e^{3x} \sin^2 x \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right) \, dx$を求めよ．
(1)$\displaystyle \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$を$\sin x$と$\cos x$を用いて表せ．
(2)$f(x)=\sin^3 x$の導関数を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} e^{3x} \sin^2 x \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right) \, dx$を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2014年 第4問関数$f(x)$は導関数$f^\prime(x)$および第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもち，区間$0 \leqq x \leqq 1$において，
\[ f(x)>0,\quad \{f^\prime(x)\}^2 \leqq f(x)f^{\prime\prime}(x) \leqq 2 \{f^\prime(x)\}^2 \]
を満たしている．$f(0)=a$，$f(1)=b$とするとき，次の不等式を示せ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) \leqq \frac{a+b}{2}$
(2)$\displaystyle f \left( \frac{1}{3} \right) \leqq \sqrt[3]{a^2b}$
(3)$\displaystyle f \left( \frac{1}{4} \right) \geqq \frac{4ab}{a+3b}$
(4)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{4}a+\frac{1}{2} \sqrt{ab}+\frac{1}{4}b$
\[ f(x)>0,\quad \{f^\prime(x)\}^2 \leqq f(x)f^{\prime\prime}(x) \leqq 2 \{f^\prime(x)\}^2 \]
を満たしている．$f(0)=a$，$f(1)=b$とするとき，次の不等式を示せ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) \leqq \frac{a+b}{2}$
(2)$\displaystyle f \left( \frac{1}{3} \right) \leqq \sqrt[3]{a^2b}$
(3)$\displaystyle f \left( \frac{1}{4} \right) \geqq \frac{4ab}{a+3b}$
(4)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{4}a+\frac{1}{2} \sqrt{ab}+\frac{1}{4}b$
国立 愛知教育大学 2014年 第4問座標平面上に点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ \sqrt{3})$を頂点とする正三角形$\mathrm{ABC}$をとる．また，点$(-1,\ 0)$，$(0,\ 0)$，$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$を頂点とする正三角形を$x$軸の正の方向に$t$だけ平行移動して得られる正三角形$\mathrm{PQR}$を考える．ただし，$t$は$0$以上の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の共通部分の面積を$f(t)$とするとき，関数$y=f(t)$のグラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(t)$と$t$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{PQR}$の共通部分の面積を$f(t)$とするとき，関数$y=f(t)$のグラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(t)$と$t$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 岐阜大学 2014年 第2問サイコロを$3$回振り，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=3ax^2-2bx+3c \]
と定める．以下の問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が$x=1$を解にもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつ確率を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$(a,\ b,\ c)$の組について考える．このとき，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．また，$S$の最大値を求めよ．
\[ f(x)=3ax^2-2bx+3c \]
と定める．以下の問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が$x=1$を解にもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつ確率を求めよ．
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$(a,\ b,\ c)$の組について考える．このとき，$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積$S$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．また，$S$の最大値を求めよ．
国立 富山大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示せ．
(2)$f(x)=x^2 \log x (x>0)$とおく．$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=0$を示せ．
(3)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(4)$\displaystyle I(t)=\int_t^2 f(x) \, dx (t>0)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to +0}I(t)$を求めよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示せ．
(2)$f(x)=x^2 \log x (x>0)$とおく．$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=0$を示せ．
(3)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(4)$\displaystyle I(t)=\int_t^2 f(x) \, dx (t>0)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to +0}I(t)$を求めよ．