$\displaystyle f(x)=\frac{x}{{2}^x}$とし，$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$c$を$0 \leqq c \leqq 2$とする．このとき，$0 \leqq x \leqq 2$を満たす$x$に対して，不等式
\[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \]
が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．
(2)$n$を自然数とする．$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$は$0$以上の実数で，$x_1+x_2+\cdots +x_n=2$を満たすとする．このとき，不等式
\[ f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n) \leqq n f \left( \frac{2}{n} \right) \]
が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．

$a>0$，$b>1$とする．関数$f_1(x)=-2x^2-x+3$と$f_2(x)=ax^2-a(b+1)x+ab$に対し，関数$f(x)$を$x \leqq 1$のとき$f(x)=f_1(x)$，$x>1$のとき$f(x)=f_2(x)$と定める．また関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\int_{-\frac{3}{2}}^x f(t) \, dt$と定める．次の問いに答えよ．

(1)微分係数${f_1}^\prime(1)$と${f_2}^\prime(1)$が等しくなるための$a,\ b$の関係式を求めよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた関係式を満たすとする．$g(x)$の最小値を$b$の値によって場合分けをして求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，次の方程式を解きなさい．
\[ \sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=-1 \]
(2)次の関数を微分しなさい．
\[ y=\log (x^2+2x+1) \]
(3)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int \frac{2x^2}{x^3+1} \, dx \]
(4)$2$個のサイコロを同時に投げる．このとき，出た目の和が素数となる確率を求めなさい．

$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$の値をそれぞれ求めなさい．
(2)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めなさい．
(3)${f}^\prime(x)$を$f(x)$を用いた式で表しなさい．

(4)$\displaystyle G(a)=\int_{-a}^a \frac{1-\{f(x)\}^2}{2} \, dx$とするとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty} G(a)$の値を求めなさい．

$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{e^x},\ g(x)=\frac{\cos x}{e^x}$とする．

(1)関数$f(x)$の第$4$次までの導関数を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の概形をかけ．
(3)$x \geqq 0$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n$，$\cdots$とするとき，$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(4)$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$a_n$とする．$a_n \leqq x \leqq a_{n+1}$の範囲において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

関数$f(x)=4 \sin x+2 \cos 2x+1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} f(x) \, dx$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{2\pi} |f(x)| \, dx$を求めよ．

以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数である．

(1)$2$曲線$y=(x+1)(x-3)$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
(2)関数$y=|(x+1)(x-3)|$のグラフをかけ．
(3)$2$曲線$y=|(x+1)(x-3)|$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．

以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数である．

(1)$2$曲線$y=(x+1)(x-3)$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．
(2)関数$y=|(x+1)(x-3)|$のグラフをかけ．
(3)$2$曲線$y=|(x+1)(x-3)|$，$y=2(x-a)^2+4$の共有点の個数を調べよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin \left( \frac{3}{2}x \right)+\frac{3}{4}x$と$\displaystyle g(x)=\frac{3}{4}x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．

(1)$y=f(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形の面積を求めよ．

以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数である．

(1)関数$y=|(x+1)(x-3)|$のグラフをかけ．
(2)$2$曲線$y=|(x+1)(x-3)|$，$y=2(x-a)^2+3$の共有点の個数を調べよ．