$t>0$において定義された関数$f(t)$は次の条件（ア），（イ）を満たす．

\mon[（ア）] $t>0$のとき，すべての実数$x$に対して不等式
\[ t \cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}+f(t) \geqq 1+x \]
が成り立つ．
\mon[（イ）] $t>0$に対して，等式
\[ t \cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}+f(t)=1+x \]
を満たす実数$x$が存在する．
このとき，$f(t)$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{3}} |\sin \theta| \, d\theta$とおく．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$を求めよ．

関数$f(x)=px^3+qx^2+rx+s$は，$x=0$のとき極大値$M$をとり，$x=\alpha$のとき極小値$m$をとるという．ただし$\alpha \neq 0$とする．このとき，$p,\ q,\ r,\ s$を$\alpha,\ M,\ m$で表せ．

二つの関数$f(x)=x \sin x$，$g(x)=\sqrt{3}x \cos x$について次の問いに答えよ．ただし，$(3)$と$(4)$において，$a$および$h(x)$は$(2)$で定めたものとする．

(1)$2$曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$の共有点のうち，$x$座標が$-\pi \leqq x \leqq \pi$であるものをすべて求めよ．
(2)$(1)$で求めた共有点のうち，$x$座標が正である点を$\mathrm{A}(a,\ f(a))$とする．点$\mathrm{A}$における曲線$y=g(x)$の接線を$y=h(x)$と表す．$h(x)$を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq a$のとき，$h(x) \geqq g(x)$であることを示せ．
(4)$0 \leqq x \leqq a$の範囲において，$y$軸，曲線$y=g(x)$，および直線$y=h(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f_0(x)$，$f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$，$f_4(x)$は，$n=0,\ 1,\ 2,\ 3$に対して，$f_n(0)$が$0$に一致しないときか一致するときかという場合に応じて$f_{n+1}(x)$を$f_n(x)$から定める関係式
\[ f_{n+1}(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x) & (f_n(0) \neq 0) \\ \\
\displaystyle \int_0^x f_n(t) \, dt+1 & (f_n(0)=0)
\end{array} \right. \]
をみたしているとする．

(1)$f_0(x)=x$のとき，$f_4(x)$を求めよ．
(2)$f_1(x)=0$ならば，$f_0(x)$は定数であることを証明せよ．
(3)$f_2(x)=0$ならば，$f_0(x)=ax+b$（$a,\ b$は定数）と表されることを証明せよ．

実数$a$に対し，関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+1} |t+1| \, dt+a$を考える．曲線$C:y=f(x)$が$x$軸と$2$個の共有点を持つための$a$の範囲を求めよ．またこのとき曲線$C$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=e^{\sin x}(\sin 2x-2 \cos x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$の値を求めよ．

(2)$0 \leqq x<2\pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき$(x^2+2x-2)e^x \geqq f(x)$が成り立つことを示せ．

関数$f(x)=x^x (x>0)$と正の実数$a$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{3}{4}$における$f(x)f(1-x)$の最大値および最小値を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq \frac{3}{4}$における$\displaystyle \frac{f(x)f(1-x)f(a)}{f(ax)f(a(1-x))}$の最小値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=1$とする．$0 \leqq x \leqq 1$を満たす$x$に対して，辺$\mathrm{BC}$の延長上に点$\mathrm{P}$を，辺$\mathrm{CA}$上に点$\mathrm{Q}$を，それぞれ$\mathrm{CP}=\mathrm{AQ}=x$となるようにとる．さらに，直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\mathrm{AR}$を$x$の関数として表せ．
(2)$(1)$の関数を$f(x)$とおくとき，$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=[x]+2(x-[x])-(x-[x])^2 \]
と定める．ここで，$[x]$は$n \leqq x$を満たす最大の整数$n$を表す．

(1)$f(x) \geqq x$であることを示せ．
(2)$f(x+1)=f(x)+1$であることを示せ．
(3)$0 \leqq x \leqq 2$において，$y=f(x)$のグラフを描け．
(4)$0 \leqq a<1$とするとき，$\displaystyle \int_a^{a+1} f(x) \, dx$を求めよ．