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公立 福岡女子大学 2015年 第3問関数
\[ f(x)=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2} \quad (x \neq 1,\ x \neq 2) \]
について，以下の問に答えなさい．
(1)$2$つの関数$\displaystyle y=\frac{2}{x-1} (x \neq 1)$と$\displaystyle y=-\frac{1}{x-2} (x \neq 2)$のグラフの概形を同じ座標平面上に描きなさい．
(2)$f(x)$の増減表を作成し，$f(x)$の極小値が$3+2 \sqrt{2}$，極大値が$3-2 \sqrt{2}$となることを示しなさい．
(3)関数$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上に描きなさい．
\[ f(x)=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2} \quad (x \neq 1,\ x \neq 2) \]
について，以下の問に答えなさい．
(1)$2$つの関数$\displaystyle y=\frac{2}{x-1} (x \neq 1)$と$\displaystyle y=-\frac{1}{x-2} (x \neq 2)$のグラフの概形を同じ座標平面上に描きなさい．
(2)$f(x)$の増減表を作成し，$f(x)$の極小値が$3+2 \sqrt{2}$，極大値が$3-2 \sqrt{2}$となることを示しなさい．
(3)関数$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上に描きなさい．
公立 三重県立看護大学 2015年 第4問関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx (a \neqq 0)$および$g(x)=mx (m \neq 0)$について，次の$(1),\ (2)$の問に答えなさい．
(1)関数$f(x)$が，$x=1$で極大値$4$，$x=3$で極小値$0$をとるように$a,\ b,\ c$の値を計算しなさい．
(2)$(1)$で求めた関数$f(x)$と$g(x)$が$3$点で交わるとき，$f(x)$と$g(x)$は$2$つの領域を囲むが，これら$2$つの領域の面積が等しくなるように$m$の値を計算しなさい．
(1)関数$f(x)$が，$x=1$で極大値$4$，$x=3$で極小値$0$をとるように$a,\ b,\ c$の値を計算しなさい．
(2)$(1)$で求めた関数$f(x)$と$g(x)$が$3$点で交わるとき，$f(x)$と$g(x)$は$2$つの領域を囲むが，これら$2$つの領域の面積が等しくなるように$m$の値を計算しなさい．
公立 島根県立大学 2015年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)等式$f(x)-3f^\prime(x)=(x+3)(x-3)$を満たす$2$次関数$f(x)$を求めなさい．
(2)$0 \leqq x \leqq 4$の範囲において，$x=3$のとき最小値$12$をとり，最大値が$21$である$2$次関数$g(x)$を求めなさい．
(3)上記の$(1)$と$(2)$で求めた$2$次関数$f(x)$，$g(x)$のグラフをそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．このとき，$C_1$，$C_2$の両方に接する直線と$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
(1)等式$f(x)-3f^\prime(x)=(x+3)(x-3)$を満たす$2$次関数$f(x)$を求めなさい．
(2)$0 \leqq x \leqq 4$の範囲において，$x=3$のとき最小値$12$をとり，最大値が$21$である$2$次関数$g(x)$を求めなさい．
(3)上記の$(1)$と$(2)$で求めた$2$次関数$f(x)$，$g(x)$のグラフをそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．このとき，$C_1$，$C_2$の両方に接する直線と$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
公立 北九州市立大学 2015年 第2問以下の問いの空欄$[サ]$～$[ヌ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．
(1)整式$P(x)$を$x^2-1$で割ると$1$余り，$x^2+4x+4$で割ると$x+6$余る．$P(x)$を$x^2+x-2$で割ったときの余りを$ax+b$とする．このとき，定数$a,\ b$の値は$a=[サ]$，$b=[シ]$となる．
(2)点$(1,\ 2)$に関して，円$x^2+y^2-8x+10y+k=0$と対称な円が原点を通るように定数$k$を定めると，$k=[ス]$となり，対称な円の中心は$([セ],\ [ソ])$となる．
(3)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta$の値は$[タ]$となり，$\cos^3 \theta-\sin^3 \theta$の値は$[チ]$となる．
(4)$3 \leqq x \leqq 81$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^4+5$の最大値と最小値を求めると，$x=[ツ]$のときに最大値$[テ]$をとり，$x=[ト]$のときに最小値$[ナ]$をとる．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+8n$で表されるとき，初項$a_1$は$[ニ]$であり，一般項$a_n$は$[ヌ]$である．
(1)整式$P(x)$を$x^2-1$で割ると$1$余り，$x^2+4x+4$で割ると$x+6$余る．$P(x)$を$x^2+x-2$で割ったときの余りを$ax+b$とする．このとき，定数$a,\ b$の値は$a=[サ]$，$b=[シ]$となる．
(2)点$(1,\ 2)$に関して，円$x^2+y^2-8x+10y+k=0$と対称な円が原点を通るように定数$k$を定めると，$k=[ス]$となり，対称な円の中心は$([セ],\ [ソ])$となる．
(3)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta$の値は$[タ]$となり，$\cos^3 \theta-\sin^3 \theta$の値は$[チ]$となる．
(4)$3 \leqq x \leqq 81$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^4+5$の最大値と最小値を求めると，$x=[ツ]$のときに最大値$[テ]$をとり，$x=[ト]$のときに最小値$[ナ]$をとる．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+8n$で表されるとき，初項$a_1$は$[ニ]$であり，一般項$a_n$は$[ヌ]$である．
公立 高崎経済大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$3$点$(-2,\ -11)$，$(2,\ -7)$，$(4,\ -23)$を通る放物線$A$をグラフとする$2$次関数を求めよ．さらに，放物線$A$を図示せよ．
(2)$(1)$で示した放物線$A$を，次の座標軸または点に関して，それぞれ対称移動して得られる放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．
$①$ $x$軸 \qquad $②$ $y$軸 \qquad $③$ 原点
(3)$(2)$の$①,\ ②,\ ③$で求めた$3$つの$2$次関数の定義域を$0 \leqq x \leqq 2$とする．このとき，それぞれの関数の最大値と最小値を求めよ．
(1)$3$点$(-2,\ -11)$，$(2,\ -7)$，$(4,\ -23)$を通る放物線$A$をグラフとする$2$次関数を求めよ．さらに，放物線$A$を図示せよ．
(2)$(1)$で示した放物線$A$を，次の座標軸または点に関して，それぞれ対称移動して得られる放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．
$①$ $x$軸 \qquad $②$ $y$軸 \qquad $③$ 原点
(3)$(2)$の$①,\ ②,\ ③$で求めた$3$つの$2$次関数の定義域を$0 \leqq x \leqq 2$とする．このとき，それぞれの関数の最大値と最小値を求めよ．
公立 高崎経済大学 2015年 第3問$k$は定数とし，$k>0$とする．関数
\[ f(x)=(x+1)^3-\frac{3}{2}k(x+1)^2+2 \]
について次の各問に答えよ．
(1)$f(x)$の極大値および極小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(2)すべての$x \geqq 0$に対して，$f(x) \geqq 0$が成り立つ$k$の値の範囲を求めよ．
\[ f(x)=(x+1)^3-\frac{3}{2}k(x+1)^2+2 \]
について次の各問に答えよ．
(1)$f(x)$の極大値および極小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(2)すべての$x \geqq 0$に対して，$f(x) \geqq 0$が成り立つ$k$の値の範囲を求めよ．
国立 東京大学 2014年 第4問$p,\ q$は実数の定数で，$0<p<1$，$q>0$をみたすとする．関数
\[ f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx}) \]
を考える．
以下の問いに答えよ．必要であれば，不等式$1+x \leqq e^x$がすべての実数$x$に対して成り立つことを証明なしに用いてよい．
(1)$0<x<1$のとき，$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2)$x_0$は$0<x_0<1$をみたす実数とする．数列$\{x_n\}$の各項$x_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，
\[ x_n=f(x_{n-1}) \]
によって順次定める．$p>q$であるとき，
\[ \lim_{n \to \infty}x_n=0 \]
となることを示せ．
(3)$p<q$であるとき，
\[ c=f(c),\quad 0<c<1 \]
をみたす実数$c$が存在することを示せ．
\[ f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx}) \]
を考える．
以下の問いに答えよ．必要であれば，不等式$1+x \leqq e^x$がすべての実数$x$に対して成り立つことを証明なしに用いてよい．
(1)$0<x<1$のとき，$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2)$x_0$は$0<x_0<1$をみたす実数とする．数列$\{x_n\}$の各項$x_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，
\[ x_n=f(x_{n-1}) \]
によって順次定める．$p>q$であるとき，
\[ \lim_{n \to \infty}x_n=0 \]
となることを示せ．
(3)$p<q$であるとき，
\[ c=f(c),\quad 0<c<1 \]
をみたす実数$c$が存在することを示せ．
国立 東京大学 2014年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$t$を実数の定数とする．実数全体を定義域とする関数$f(x)$を
\[ f(x)=-2x^2+8tx-12x+t^3-17t^2+39t-18 \]
と定める．このとき，関数$f(x)$の最大値を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$の「関数$f(x)$の最大値」を$g(t)$とする．$t$が$\displaystyle t \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$の範囲を動くとき，$g(t)$の最小値を求めよ．
(1)$t$を実数の定数とする．実数全体を定義域とする関数$f(x)$を
\[ f(x)=-2x^2+8tx-12x+t^3-17t^2+39t-18 \]
と定める．このとき，関数$f(x)$の最大値を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$の「関数$f(x)$の最大値」を$g(t)$とする．$t$が$\displaystyle t \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$の範囲を動くとき，$g(t)$の最小値を求めよ．
国立 九州大学 2014年 第1問関数$\displaystyle f(x)=x-\sin x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を考える．曲線$y=f(x)$の接線で傾きが$\displaystyle \frac{1}{2}$となるものを$\ell$とする．
(1)$\ell$の方程式と接点の座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)$a$は$(1)$で求めたものとする．曲線$y=f(x)$，直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)$\ell$の方程式と接点の座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)$a$は$(1)$で求めたものとする．曲線$y=f(x)$，直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
国立 九州大学 2014年 第5問$2$以上の自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=(x-1)(2x-1) \cdots (nx-1) \]
と定義する．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$に対して，$f_n(x)$が区間$\displaystyle \frac{1}{k+1}<x<\frac{1}{k}$でただ$1$つの極値をとることを証明せよ．
\[ f_n(x)=(x-1)(2x-1) \cdots (nx-1) \]
と定義する．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$に対して，$f_n(x)$が区間$\displaystyle \frac{1}{k+1}<x<\frac{1}{k}$でただ$1$つの極値をとることを証明せよ．