$f(x)=\sin^3 x+\cos^3 x-3 \sin x \cos x$の最大値と最小値を求めよ．

関数$f(x)$が次を満たすとき，$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=5+2 \int_0^1 e^{t-x} f(t) \, dt \]

$\displaystyle f(x)=\left( \frac{5}{1+3e^{-2x}} \right)^2-\left( \frac{5}{1+3e^{-2x}} \right)+1$とする．$f(x)$が最小となるときの$x$の値を求めよ．

$f(x)=k(1-x)^2x^3$とする．$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で$f(x)$が最大となる$x$の値を求めよ．ただし，$k$は
\[ \int_0^1 k(1-x)^2x^3 \, dx=1 \]
を満たす実数とする．

次の各問に答えよ．

(1)$f(x)=|2x+3|$のとき$f(-3)+f(0)+f(3)$の値を求めよ．
(2)方程式$\log_2 (x-1)+\log_2 (x+2)=2$を解け．
(3)$\left\{ \begin{array}{l}
\sin x+\cos y=1 \\
\cos x+\sin y=\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right.$のとき$\sin (x+y)$の値を求めよ．
(4)$a,\ b,\ x$を実数とする．命題
\[ x^2-(a+b)x+ab \leqq 0 \Longrightarrow x^2<2x+3 \]
が真となるような定数$a,\ b$の満たすべき条件を求めよ．ただし，$a \leqq b$とする．
(5)$a$を定数とし，関数$y=f(x)$は$x=a$で微分可能であるとする．このとき，極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a-2h)}{h} \]
を$f^\prime(a)$を用いて表せ．
(6)関数$f(x)=\log | \cos x |$の導関数を求めよ．
(7)$2$つの曲線$y=\log x$と$y=ax^2$とがただ$1$つの共有点をもつような正の定数$a$の値を求めよ．
(8)等式$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x^2+a}-x-1}{(x-1)^2}=b$が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$について，次の各問に答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(4)実数$a,\ b$が条件$-2 \leqq a \leqq b \leqq 2$を満たして変化するとき，定積分$\displaystyle \int_a^b f(x) \, dx$の最大値とそのときの$a,\ b$の値を求めよ．

関数$y=2(8^x+8^{1-x})-9(4^x+4^{1-x})+24(2^x+2^{1-x})-12$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$t=2^x+2^{1-x}$とするとき，$y$を$t$で表せ．
(2)$(1)$で定義した$t$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$y$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

$a>1$，$b>0$，$c>0$，$f(t)=a^{-bt}$とする．点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が，時刻$t$の関数として$x=f(t) \cos t$，$y=f(t) \sin t$のように表されるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)$を$t$について微分せよ．
(2)$t=0$から$t=c$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$l$を$a,\ b,\ c$で表せ．
(3)$(2)$の$l$について，$\displaystyle L=\lim_{c \to \infty} l$を$a,\ b$で表せ．
(4)$t=0$から$t=d$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のりが，$(3)$で求めた$L$の$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとする．$a=2$，$b=5$であるとき$d$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$5 \tan \theta=2$のとき，$\displaystyle A=\frac{\sin^4 \theta-\cos^4 \theta}{12 \sin \theta \cos \theta+6}$の値を求めよ．
(2)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$の$7$個の数字がある．これらの数字を並べて$7$桁の整数を作る．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．このとき，偶数が隣り合わないような$7$桁の整数は全部で$J$個できる．また，これらの$J$個の中で奇数となるものは$K$個できる．$J$と$K$の値を求めよ．
(3)$m$を自然数とする．関数$f(x)=(x-2) \sqrt{x^4(x+1)^2}$に対して，定積分$\displaystyle B=m \int_{-2}^2 f(x) \, dx$の値が整数となる$m$の最小値$M$の値を求めよ．また，このときの$B$の値を求めよ．

$x>0$を実数とし，$\displaystyle f(x)=\left( \frac{10}{x} \right)^{45}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(2)$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$|\log_{10|x-0.3010}<0.01$となる実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数を求めよ．
(3)$d$を定数とする．$|\log_{10|x-0.3010}<d$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数が同じになる．このような性質を持つ定数$d$のとる値の範囲を求めよ．