「関数」について
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私立 東京女子大学 2015年 第1問$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$\displaystyle y=4 \cos^2 \frac{\theta}{2}-\cos 2\theta+1$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
私立 神戸薬科大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の極限値を求めると，$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x-2}=[ア]$であり，
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(2x+h)^3-(2x)^3}{h}=[イ]$である．
(2)$r$の関数$\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi (r+2)^2$の導関数を求めると，$\displaystyle \frac{dV}{dr}=[ウ]$である．ただし$\pi$は円周率である．
(1)次の極限値を求めると，$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x-2}=[ア]$であり，
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{(2x+h)^3-(2x)^3}{h}=[イ]$である．
(2)$r$の関数$\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi (r+2)^2$の導関数を求めると，$\displaystyle \frac{dV}{dr}=[ウ]$である．ただし$\pi$は円周率である．
私立 神戸薬科大学 2015年 第4問関数$\displaystyle f(x)=(\log_2 x)^2-\log_2 x^2-1 \left( \frac{1}{4} \leqq x \leqq 8 \right)$がある．
$x=[サ]$のとき，$f(x)$は最大値$[シ]$をとり，
$x=[ス]$のとき，$f(x)$は最小値$[セ]$をとる．
$x=[サ]$のとき，$f(x)$は最大値$[シ]$をとり，
$x=[ス]$のとき，$f(x)$は最小値$[セ]$をとる．
私立 神奈川大学 2015年 第1問次の空欄$(\mathrm{a})$～$(\mathrm{g})$を適当に補え．
(1)不等式$|3x-5|<2x+1$を満たす$x$の値の範囲は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$t>0$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(t+3,\ t-1)$と$\overrightarrow{b}=(-1,\ t)$が垂直であるとき，$t=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)白い玉が$3$個，赤い玉が$2$個入っている袋がある．袋から玉を$1$つ取り出し色を確かめ袋に戻す操作を$3$回行う．このとき，$2$回以上白い玉が出る確率は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{2h+2}-e^2}{h}=[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$8$つの数の集まり$\{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$を$2$組に分け，それぞれの組に属する数の和を考える．たとえば，
$\{-1,\ 0,\ 2,\ 4,\ 5\} \text{と} \{-2,\ 1,\ 3\}$
という組み分けについては，$10$と$2$である．このとき，
「どんな組み分けについても，少なくとも一方の和は$a$以上である」
という主張が成立するような数$a$のうち最大のものは$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)$\displaystyle \int_1^x \log t \, dt=[$(\mathrm{f])$}$であるので，$\displaystyle f(x)=\int_1^x (x-1) \log t \, dt$のとき，$f^\prime(x)=[$(\mathrm{g])$}$である．
(1)不等式$|3x-5|<2x+1$を満たす$x$の値の範囲は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$t>0$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(t+3,\ t-1)$と$\overrightarrow{b}=(-1,\ t)$が垂直であるとき，$t=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)白い玉が$3$個，赤い玉が$2$個入っている袋がある．袋から玉を$1$つ取り出し色を確かめ袋に戻す操作を$3$回行う．このとき，$2$回以上白い玉が出る確率は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{2h+2}-e^2}{h}=[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$8$つの数の集まり$\{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$を$2$組に分け，それぞれの組に属する数の和を考える．たとえば，
$\{-1,\ 0,\ 2,\ 4,\ 5\} \text{と} \{-2,\ 1,\ 3\}$
という組み分けについては，$10$と$2$である．このとき，
「どんな組み分けについても，少なくとも一方の和は$a$以上である」
という主張が成立するような数$a$のうち最大のものは$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)$\displaystyle \int_1^x \log t \, dt=[$(\mathrm{f])$}$であるので，$\displaystyle f(x)=\int_1^x (x-1) \log t \, dt$のとき，$f^\prime(x)=[$(\mathrm{g])$}$である．
私立 神奈川大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=(1-3 \sin^2 x) \cos x-1$について，$t=\cos x$とおくとき$f(x)$を$t$で表せ．
(2)関数$f(x)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$a$を正の定数とする．関数$g(x)=(1-a \sin^2 x) \cos x-1$の最大値が$(2)$で求めた$M$に等しいとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(1)関数$f(x)=(1-3 \sin^2 x) \cos x-1$について，$t=\cos x$とおくとき$f(x)$を$t$で表せ．
(2)関数$f(x)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$a$を正の定数とする．関数$g(x)=(1-a \sin^2 x) \cos x-1$の最大値が$(2)$で求めた$M$に等しいとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．
私立 岡山理科大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=2x^3+3x^2-12x-20$の極値を求めよ．
(2)関数$g(x)=2 \log_3 (x+2)+\log_3 (5-2x)$の定義域を求めよ．
(3)関数$g(x)=2 \log_3 (x+2)+\log_3 (5-2x)$の最大値を求めよ．
(1)関数$f(x)=2x^3+3x^2-12x-20$の極値を求めよ．
(2)関数$g(x)=2 \log_3 (x+2)+\log_3 (5-2x)$の定義域を求めよ．
(3)関数$g(x)=2 \log_3 (x+2)+\log_3 (5-2x)$の最大値を求めよ．
私立 東邦大学 2015年 第4問$n$を自然数とする．関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{a+x^2+x^{2n}-x^{2n+2}}{12+x^{2n}}$と定めるとき，$f(x)$が実数全体で連続となるような定数$a$の値は$[ケコ]$である．
私立 東邦大学 2015年 第7問$e$を自然対数の底とする．関数$f(x)=(e^x)^{e^x}$は，$x=[オカ]$のとき極値をとる．
私立 東邦大学 2015年 第11問$x$と$y$を変数とする関数$f(x,\ y)=9^{x+1}3^y+3^{2x-y}+3^{y+3}9^{-x}+3^{1-2x-y}$は$\displaystyle (x,\ y)=\left( \frac{[ア]}{[イ]},\ [ウエ] \right)$のとき，最小値$[オカ] \sqrt{[キ]}$をとる．
私立 西南学院大学 2015年 第3問以下の問に答えよ．
(1)関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$は，$x=3$で極小値$-1$をとり，$x=1$で極大値をとる．このとき，$a=[ニヌ]$，$b=[ネ]$，$c=[ノハ]$であり，極大値は$[ヒ]$である．
(2)関数$g(x)=x^3-ax^2+3ax+4a^2$が極値をとらないとき，定数$a$のとりうる値の範囲は，$[フ] \leqq a \leqq [ヘ]$である．
(1)関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$は，$x=3$で極小値$-1$をとり，$x=1$で極大値をとる．このとき，$a=[ニヌ]$，$b=[ネ]$，$c=[ノハ]$であり，極大値は$[ヒ]$である．
(2)関数$g(x)=x^3-ax^2+3ax+4a^2$が極値をとらないとき，定数$a$のとりうる値の範囲は，$[フ] \leqq a \leqq [ヘ]$である．