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私立 東北工業大学 2015年 第1問$x$の$2$次関数$y=x^2-4kx-k^2+12k-2$について考える．
(1)この関数のグラフの軸は直線$x=[ア][イ]k$である．また，この関数の最小値は$-[ウ][エ]k^2+12k-2$である．
(2)この関数の定義域を$1 \leqq x \leqq 5$とし，$k=-1$とすると，この関数の値域は$-[オ][カ] \leqq y \leqq [キ][ク]$である．
(3)この関数の定義域を$x \leqq 2$とすると，この関数の最小値は$k=[ケ][コ]$のときに最大となる．
(1)この関数のグラフの軸は直線$x=[ア][イ]k$である．また，この関数の最小値は$-[ウ][エ]k^2+12k-2$である．
(2)この関数の定義域を$1 \leqq x \leqq 5$とし，$k=-1$とすると，この関数の値域は$-[オ][カ] \leqq y \leqq [キ][ク]$である．
(3)この関数の定義域を$x \leqq 2$とすると，この関数の最小値は$k=[ケ][コ]$のときに最大となる．
私立 大阪歯科大学 2015年 第2問$a$が実数であるとき，$f(x)=x^2-ax+a-1$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値が$0$であるという．
(1)$a=0$のとき，このことが成り立つことを示せ．
(2)上の条件が成り立つための$a$の値をすべて求めよ．
(3)$a \leqq 0$のとき，$\displaystyle \int_a^{a+1} f(x) \, dx$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(1)$a=0$のとき，このことが成り立つことを示せ．
(2)上の条件が成り立つための$a$の値をすべて求めよ．
(3)$a \leqq 0$のとき，$\displaystyle \int_a^{a+1} f(x) \, dx$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
私立 大阪薬科大学 2015年 第2問次の問いに答えなさい．
$a,\ b$を正の実数の定数とし，$2$次関数$f(x)=3x^2+ax+b$を考える．$xy$座標平面上の放物線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(1,\ f(1))$における接線を$\ell$とする．また，$\ell$を$y$軸方向に$3$だけ平行移動した直線を$m$とする．
(1)$C$の頂点の$y$座標を$q$とするとき，$q$は，$a$と$b$を用いて表すと$q=[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$C$と$m$で囲まれる部分の面積$S$の値は$S=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を$r$とする．このとき，$r$は，$a$と$b$を用いて表すと$r=[$\mathrm{G]$}$である．また，大小$2$個のさいころを投げ，大きいさいころの出た目の数を$a$の値，小さいさいころの出た目の数を$b$の値とするとき，$\displaystyle 0 \leqq r \leqq \frac{1}{6}$である確率$P$の値は$P=[$\mathrm{H]$}$である．ただし，大小$2$個のさいころはそれぞれ$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
(4)$C$と$x$軸の共有点が$2$個であるとき，その共有点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする（$\alpha<\beta$）．$C$と$x$軸の共有点が$2$個であり，かつ$a,\ b$それぞれが$1 \leqq a \leqq 6$，$1 \leqq b \leqq 6$を満たす整数であるとき，$\alpha^2+\beta^2$のとり得る値の最大値と最小値を$[い]$で求めなさい．
$a,\ b$を正の実数の定数とし，$2$次関数$f(x)=3x^2+ax+b$を考える．$xy$座標平面上の放物線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(1,\ f(1))$における接線を$\ell$とする．また，$\ell$を$y$軸方向に$3$だけ平行移動した直線を$m$とする．
(1)$C$の頂点の$y$座標を$q$とするとき，$q$は，$a$と$b$を用いて表すと$q=[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$C$と$m$で囲まれる部分の面積$S$の値は$S=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を$r$とする．このとき，$r$は，$a$と$b$を用いて表すと$r=[$\mathrm{G]$}$である．また，大小$2$個のさいころを投げ，大きいさいころの出た目の数を$a$の値，小さいさいころの出た目の数を$b$の値とするとき，$\displaystyle 0 \leqq r \leqq \frac{1}{6}$である確率$P$の値は$P=[$\mathrm{H]$}$である．ただし，大小$2$個のさいころはそれぞれ$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
(4)$C$と$x$軸の共有点が$2$個であるとき，その共有点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする（$\alpha<\beta$）．$C$と$x$軸の共有点が$2$個であり，かつ$a,\ b$それぞれが$1 \leqq a \leqq 6$，$1 \leqq b \leqq 6$を満たす整数であるとき，$\alpha^2+\beta^2$のとり得る値の最大値と最小値を$[い]$で求めなさい．
私立 星薬科大学 2015年 第3問次の問に答えよ．
(1)関数$f(x)=2 \log_2 (2-x)+\log_2 x$は$\displaystyle x=\frac{[$16$]}{[$17$]}$で最大値
\[ [$18$]-[$19$] \log_2 [$20$] \]
をとる．
(2)$\log_2 5=2.32$，$\log_2 11=3.46$，$m$と$n$を正の整数，$0<a<1$とするとき，
\[ \log_2 113=m \left( m-\frac{1}{2} \right)+n+a \]
と表すことができるような$(m,\ n)$の組合せは，$m$の値の小さいほうから順に，$([$21$],\ [$22$])$と$([$23$],\ [$24$])$である．
(1)関数$f(x)=2 \log_2 (2-x)+\log_2 x$は$\displaystyle x=\frac{[$16$]}{[$17$]}$で最大値
\[ [$18$]-[$19$] \log_2 [$20$] \]
をとる．
(2)$\log_2 5=2.32$，$\log_2 11=3.46$，$m$と$n$を正の整数，$0<a<1$とするとき，
\[ \log_2 113=m \left( m-\frac{1}{2} \right)+n+a \]
と表すことができるような$(m,\ n)$の組合せは，$m$の値の小さいほうから順に，$([$21$],\ [$22$])$と$([$23$],\ [$24$])$である．
私立 東京電機大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x-\sin x}{\sin 5x+\sin x}$を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{\sqrt{x}} \, dx$を求めよ．
(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x-\sin x}{\sin 5x+\sin x}$を求めよ．
(5)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{\sqrt{x}} \, dx$を求めよ．
私立 津田塾大学 2015年 第2問$f(x)=4x^3-3x+c$とする．
(1)$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつような$c$の値の範囲を求めよ．
(2)$c=\sin 3\theta (-{30}^\circ<\theta<{30}^\circ)$とする．このとき$f(x)=0$の$3$つの解を$a \cos \theta+b \sin \theta$の形で表せ．ただし，$a,\ b$は定数とする．
(1)$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつような$c$の値の範囲を求めよ．
(2)$c=\sin 3\theta (-{30}^\circ<\theta<{30}^\circ)$とする．このとき$f(x)=0$の$3$つの解を$a \cos \theta+b \sin \theta$の形で表せ．ただし，$a,\ b$は定数とする．
私立 津田塾大学 2015年 第3問$f(x)=x^2-4x+1$とする．
(1)関数$y=f(|x|)$のグラフ$C$をかけ．
(2)$y=ax (a>0)$で表される直線$\ell$が，$C$とちょうど$3$個の共有点をもつとする．このとき定数$a$の値を求めよ．
(3)$\ell$と$C$で囲まれた図形のうち，$\ell$より上側にある部分の面積を求めよ．
(1)関数$y=f(|x|)$のグラフ$C$をかけ．
(2)$y=ax (a>0)$で表される直線$\ell$が，$C$とちょうど$3$個の共有点をもつとする．このとき定数$a$の値を求めよ．
(3)$\ell$と$C$で囲まれた図形のうち，$\ell$より上側にある部分の面積を求めよ．
私立 津田塾大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は$a_1=1$，および$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対して
\[ 5^{n-1} \times a_1+5^{n-2} \times a_2+\cdots +5 \times a_{n-1}+a_n=0 \]
をみたす．このとき$a_n (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．
(2)$n$を自然数とし，$f(x)=x(x-1)(x-2) \cdots (x-n)$とおく．このとき$f(x)$の$x=n$における微分係数$f^\prime(n)$は$n!$に等しいことを示せ．
(1)数列$\{a_n\}$は$a_1=1$，および$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対して
\[ 5^{n-1} \times a_1+5^{n-2} \times a_2+\cdots +5 \times a_{n-1}+a_n=0 \]
をみたす．このとき$a_n (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．
(2)$n$を自然数とし，$f(x)=x(x-1)(x-2) \cdots (x-n)$とおく．このとき$f(x)$の$x=n$における微分係数$f^\prime(n)$は$n!$に等しいことを示せ．
私立 津田塾大学 2015年 第4問関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}-1} \]
で定める．
(1)$y=\log (e^x+e^{-x}-1)$を微分せよ．
(2)$f(x) \geqq e^x-1$となるような$x$の値の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=e^x-1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\[ f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}-1} \]
で定める．
(1)$y=\log (e^x+e^{-x}-1)$を微分せよ．
(2)$f(x) \geqq e^x-1$となるような$x$の値の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=e^x-1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 東京電機大学 2015年 第4問次の各問に答えよ．
(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．
(4)曲線$C:y=x(x-1)(x+a)$上の点$(1,\ 0)$における接線が$C$自身と$x=3$において共有点をもつ．このとき，定数$a$の値を求めよ．
(5)曲線$C:y=|x^2-4|$と直線$\ell:y=2x+4$で囲まれた$2$つの図形の面積の和を求めよ．
(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．
(4)曲線$C:y=x(x-1)(x+a)$上の点$(1,\ 0)$における接線が$C$自身と$x=3$において共有点をもつ．このとき，定数$a$の値を求めよ．
(5)曲線$C:y=|x^2-4|$と直線$\ell:y=2x+4$で囲まれた$2$つの図形の面積の和を求めよ．