関数$f(x)=\sqrt{7x-3}-1$について考える．

(1)$f(x)$の逆関数は$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{[ア]}{[イ]}(x^2+[ウ]x+[エ]) (x \geqq [オカ])$である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$との交点の座標は$([キ],\ [ク])$，$([ケ],\ [コ])$である．ただし，$[キ]<[ケ]$とする．
(3)不等式$f^{-1}(x) \leqq f(x)$の解は$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である．

次の条件によって定められる関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
\[ f_1(x)=(3x+5)e^{2x},\quad f_{n+1}(x)={f_n}^{\prime}(x) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$f_2(x)=([ア]x+[イウ])e^{2x}$である．
(2)$f_n(x)=(a_nx+b_n)e^{2x}$（$a_n,\ b_n$は定数）とおくと，
\[ a_1=[エ],\quad b_1=[オ],\quad \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=[カ]a_n \\
b_{n+1}=a_n+[キ]b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．
(3)$a_n=[ク] \cdot {[ケ]}^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(4)$\displaystyle c_n=\frac{b_n}{2^n}$とおくと，$\displaystyle c_{n+1}=c_n+\frac{[コ]}{[サ]} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．よって，$\displaystyle c_n=\frac{[シ]n+[ス]}{[セ]}$，つまり$b_n={[ソ]}^{n-2}([タ]n+[チ]) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．ゆえに
\[ f_n(x)={[ツ]}^{n-2}([テ]x+[ト]n+[ナ])e^{2x} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．

次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$3x^2+x+a=0$（$a$は定数）の解が$\sin \theta,\ \cos \theta$のとき，
\[ \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=-\frac{[アイ]}{[ウエ]} \]
である．
(2)$2^x=3$，$3^y=5$，$xyz=3$のとき，$5^z=[オ]$である．
(3)関数$f(x)=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)$は，$0 \leqq x \leqq 2$の範囲において，$x=[カ]$で最大値$[キ]$をとり，$\displaystyle x=\sqrt{\frac{[ク]}{[ケ]}}$で最小値$\displaystyle -\frac{[コ]}{[サ]}$をとる．
(4)直線$y=mx+4$（$m$は正の定数）が円$x^2+y^2=36$によって切りとられる弦の長さが$4 \sqrt{6}$のとき，$\displaystyle m=\frac{\sqrt{[シ]}}{[ス]}$である．
(5)$x^6$を$x^2-x-3$で割ったときの余りは$[セソ]x+[タチ]$である．

実数$x$が$x \geqq 0$の範囲の値をとるとき，関数
\[ f(x)=\int_0^x (t^2-4t+2)e^{-t} \, dt \]
の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

実数全体を定義域とする関数$f(x)$は奇関数で微分可能であるとする．さらに，$f^\prime(x)$も微分可能で$f^\prime(0)=0$を満たし，$x>0$の範囲で$f^{\prime\prime}(x)>0$であるとする．$y=f(x)$のグラフを$C_1$，$C_1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$f(a)$だけ平行移動した曲線を$C_2$とする．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$f(0)$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$は偶関数であることを示せ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点の個数が$2$個であることを示し，その$2$点の$x$座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$0<a \leqq 3$の範囲を動くとき，$S(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．

関数
\[ f(x)=\frac{\log x}{x} \quad (x>0) \]
を考える．

(1)$x$が正の実数全体を動くとき，$f(x)$の最大値と，最大値を与える$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点の座標を求めよ．
(3)不等式
\[ \int_1^n f(x) \, dx>2 \]
を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，自然対数の底$e$は$2.7<e<2.8$を満たすことを用いてよい．

（新課程履修者）$a>0$とする．複素平面上で等式
\[ |z-ia|=\frac{z-\overline{z}}{2i} \]
を満たす点$z$全体の表す図形を$C$とする．ただし，$i$は虚数単位で，$\overline{z}$は$z$と共役な複素数を表す．

(1)$z=x+iy$と表すとき，$C$の方程式を$y=f(x)$の形で表せ．
(2)$C$上の点$z$で
\[ |z-(2+2i)|=|z+(2+2i)| \]
を満たすものを求めよ．

$x$の関数$y=-3x^2+4ax-a$の最大値を$M$とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$a$は定数であり，$x$は$0 \leqq x \leqq 3$の範囲の変数である．

(1)$a=3$のとき，$M$の値を求めなさい．
(2)$0<a<3$のとき，$M$を$a$を用いて表しなさい．

関数$f(x)=x^4-5x^3+kx^2$が極大値をもつような定数$k$の値の範囲を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面において，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2} (x>0)$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}=0$を用いてよい．
(2)$a$を定数とする．$xy$平面において，$2$つの曲線$y=ax^2$と$y=\log x$の共有点の個数を調べよ．