定義域を$-2 \leqq x \leqq 3$とする放物線$y=ax^2+2ax+b$がある．ただし，その形は下に凸であるとする．以下の問に答えよ．

(1)この関数の最大値が$6$，最小値が$-2$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$(1)$で求めた放物線を原点に関して対称移動したあとの放物線の式を求めよ．

関数$f(x)=x+x \sqrt{1-x^2}$について以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし変曲点は求めなくてよい．
(3)$y=f(x)$のグラフと直線$y=x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$f(x)=2x^2-x$，$g(x)=x^2+3x+a$とする．$-1 \leqq x \leqq 1$のすべての$x$に対して$f(x)>g(x)$となるような$a$の値の範囲は$[　]$である．また，$-1 \leqq x \leqq 1$の少なくとも$1$つの$x$に対して$f(x)>g(x)$となるような$a$の値の範囲は$[　]$である．

曲線$y=e^{-x^2}$上の$3$点$\mathrm{P}(0,\ 1)$，$\mathrm{Q}(t,\ e^{-t^2})$，$\mathrm{R}(-t,\ e^{-t^2})$を通る円を$C$とする．円$C$の半径$r$を$t$の関数とみて$r(t)$と表すと，$r(t)=[　]$である．また，極限$\displaystyle \lim_{t \to 0} r(t)$の値は$[　]$である．ただし，$e$は自然対数の底とする．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1+x}{1+x^2}$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} f(x) \, dx$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\log (1+\sqrt{2+x})-\frac{1}{2} \sqrt{2+x}$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$および直線$\displaystyle y=\frac{\log 3-1}{4}x+\frac{\log 3-1}{2}$とで囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2 \sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(2)点$(1,\ 1)$において接線と直交する直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$，直線$\ell$および$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$6-x^2 \geqq |x|$を解け．
(2)$(1)$の範囲で，関数$y=x^2-2 |x|-1$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)$a$を正の定数とするとき，方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする．$a=[$1$]$のとき，$2$直線の方程式はそれぞれ$[$2$]$，$[$3$]$となる．ただし，$[$2$]$，$[$3$]$は解答の順序を問わない．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$とする．$a=2$，$b=3$のとき，$c$のとりうる値の範囲は$[$4$]$である．また，$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき，$c=[$5$]$となる．
(3)$a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき，$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$[$6$]$である．
(4)関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 (1 \leqq x \leqq 27)$は，$x=[$7$]$で最大値$[$8$]$をとり，$x=[$9$]$で最小値$[$10$]$をとる．
(5)関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[$11$]$である．
(6)男性$8$人，女性$10$人からなる企業があるとする．このとき，男性$2$人，女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$[$12$]$通りである．また，この$5$人の役員を選んだとき，役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$[$13$]$通りである．
(7)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で，大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり，それぞれを$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とすると，$\overrightarrow{b}=([$14$])$，$\overrightarrow{c}=([$15$])$である．ただし，$[$14$]$，$[$15$]$は解答の順序を問わない．
(8)数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える．この数列の第$n$項を$a_n$で表すと，$a_n=[$16$]$となるので，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[$17$]n^3+[$18$]n^2+[$19$]n$と表すことができる．

関数$y=3 \cdot 4^x-3 \cdot 2^{x+1}+8 (0 \leqq x \leqq 2)$について，$2^x=t$とする．

(1)$t$のとりうる値の範囲は$[サ] \leqq t \leqq [シ]$である．
(2)$y=[ス]t^2-[セ]t+[ソ] ([サ] \leqq t \leqq [シ])$である．
(3)$y$は$t=[タ]$のとき，すなわち，$x=[チ]$のとき，最大値$[ツテ]$をとり，$t=[ト]$のとき，すなわち，$x=[ナ]$のとき，最小値$[ニ]$をとる．