次の各問いに答えよ．

(1)次の式を因数分解せよ．
\[ 2x^3+15x^2+6x-7 \]
(2)次の不等式を解け．
\[ 2^{2x}-2^{x+2}-32>0 \]
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，青玉$2$個を$1$列に並べるとき，並べ方は何通りあるか．
(4)次の値を求めよ．
\[ 8^{\log_2 5} \]
(5)次の条件をすべてみたす$2$次関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(0)=2,\quad f^\prime(0)=-5,\quad f^\prime(1)=1 \]
(6)次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_{-1}^2 (2x^2-4x+3) \, dx \]

関数$f(x)=|x^2-2x-3|-x$について，以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)関数$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 4$における最大値および最小値を求めよ．

実数の定数$a (a \neq 1)$，$b,\ c$に対し，多項式$f(x)=ax^3+2bx^2+6x+c$を考える．$f(x)$が$x=a$および$x=1$で極値を持つとき，以下の設問に答えよ．

(1)$a,\ b$の値をすべて求めよ．
(2)$f(x)$の極小値が$3a$であるとき，$c$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3$次関数$y=4x^3-12x+1 (-1 \leqq x \leqq \sqrt{3})$のグラフを$G$とする．$k$を実数とし，直線$\ell:y=-3x+k$を考える．$\ell$と$G$が異なる$2$つの共有点をもつための必要十分条件は，
\[ k=[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]} \]
または
\[ [エ]+[オ] \sqrt{[カ]}<k<[キ] \]
である．
(2)不等式$9^{\log_3 x}-3 \cdot 2^{(\log_2 x+2)}+3^3>0$の解は，$[ク]<x<[ケ]$または$[コ]<x$である．
(3)下図のような道がある．

(i) $\mathrm{C}$を経由して，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[サ]$通りである．
(ii) $\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[シ]$通りである．

（図は省略）

$a,\ b$を実数として，$3$次関数$f(x)=x^3-ax^2+3bx-10$は$x=1$で極値をとるとする．

(1)$\displaystyle a=\frac{[ア]}{[イ]}b+\frac{[ウ]}{[エ]}$であり，$b \neq [オ]$である．

(2)$3$次方程式$x^3-ax^2+3bx-10=0$が異なる$3$つの実数解をもつのは
\[ b<-[カ],\quad [キ]<b \]
のとき，すなわち
\[ a<-\frac{[ク]}{[ケ]},\quad [コ][サ]<a \]
のときである．

$x$を$2$より小さい実数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{4x-7}{x-2} \quad (x<2) \]
と定め，座標平面上で曲線$y=f(x)$を考える．

(1)曲線$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上に描け．
(2)点$\displaystyle \left( \frac{5}{4},\ f \left( \frac{5}{4} \right) \right)$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(3)直線$5x-2y=a$が曲線$y=f(x)$の法線となるときの実数$a$の値を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

$a$を正の実数とし，関数$f(x)=\sin x+a \sin 3x$を考える．

(1)$a=2$のとき，
\[ f(x)=[オ] \sin x+[カ] \sin^n x,\quad \text{ただし}n=[キ] \]
である．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で$f(x)$が最大値をとるときの$a$の範囲は$\displaystyle 0<a \leqq \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(3)$\displaystyle a>\frac{[ク]}{[ケ]}$の範囲で，$f(x)$の最大値がもっとも小さくなるのは$\displaystyle a=\frac{[コ]}{[サ]}$のときである．
このとき$f(x)$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シ]}}{[ス]}$であり，最大値を与える$x$に対して，$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．

$f(x)=x^3-3x^2-x+3$とし，座標平面上の曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における接線を$\ell$とする．ただし，$p \neq 3$とする．放物線$C:y=ax^2+bx+c$は点$(3,\ 0)$を通り，直線$\ell$と$\mathrm{P}$で接する．

(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$p$の式で表すと，
\[ a=[セ]p,\ b=[ソ]p^2+[タ]p+[チ],\ c=[ツ]p^2+[テ] \]
である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}<p<3$とする．$C$およびその下側の部分で，$C$と直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$および$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_1$とおき，$C$およびその上側の部分で，$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_2$とおく．このとき，
\[ S_1-S_2=\frac{25}{24}\left( [ト]p^2+[ナ]p+[ニ] \right) \]
であり，$S_1=S_2$となる$p$の値は
\[ p=\frac{[ヌ]}{[ネ]}+\frac{\sqrt{[ノ]}}{[ハ]} \]
である．
(3)$p=1$のとき，
\[ S_1+S_2=\frac{[ヒ]}{[フ]} \]
である．

$a$を実数とし，$f(x)=(x-a)(x^2-2x-11)$とおく．集合
\[ A=\{x \;\bigl|\; f(x)<0,\ x \text{は実数} \} \]
を考える．また，$n$を整数とし，集合

$I_n=\{x \;\bigl|\; x>n,\ x \text{は実数} \}$
$J_n=\{x \;\bigl|\; x<n,\ x \text{は実数} \}$

を考える．

(1)$a=-4$のとき，$J_n \supset A$となる$n$の最小値は$[ヘ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ホ]$である．
(2)$a=-4$，$n=-3$のとき，$I_n \cap A$に含まれる整数の個数は$[マ]$個である．
(3)$a=1$のとき，$I_n \cap A$が空集合でない$n$の最大値は$[ミ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ム]$である．
(4)$a=1$のとき，
\[ x<x^\prime \quad \text{かつ} \quad f(x)>m>f(x^\prime) \]
を満たす実数$x,\ x^\prime$が存在するような整数$m$の最小値は$[メ]$，最大値は$[モ]$である．
(5)$a=7$のとき，$J_n \supset A$となる$n$の最小値は$[ヤ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ユ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x),\ g(x)$が次の$2$つの式を満たしている．ただし，$a$は定数とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\int_1^x f(t) \, dt=xg(x)-2ax+2 \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
g(x)=x^2-x \int_0^1 f(t) \, dt-3 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
このとき，$a=[ア]$であり，
\[ f(x)=[イ]x^2+[ウ]x+[エ] \]
である．
(2)$\displaystyle c(n)=\frac{3n^2+174n+231}{n^2+3n+2}$とおく．$c(n)$が整数となるような自然数$n$は$[オ]$個存在する．また，これら$[オ]$個の自然数のうちで最も大きいものを$n^{*}$と表すと，$n^{*}=[カ]$，$c(n^{*})=[キ]$である．