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国立 お茶の水女子大学 2015年 第3問座標平面上に関数$f(x)=x^2-2x+2-|2x-2|$を用いて表される曲線$C:y=f(x)$がある．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$m$を定数とする．点$(0,\ 1)$を通る傾き$m$の直線と曲線$C$の交点の数を求めよ．
(3)直線$y=a^2$と曲線$C$によって囲まれる領域のうち，$a^2 \leqq y \leqq f(x)$かつ$0 \leqq x \leqq 2$を満たす部分の面積を求めよ．ただし，$0<a<1$とする．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$m$を定数とする．点$(0,\ 1)$を通る傾き$m$の直線と曲線$C$の交点の数を求めよ．
(3)直線$y=a^2$と曲線$C$によって囲まれる領域のうち，$a^2 \leqq y \leqq f(x)$かつ$0 \leqq x \leqq 2$を満たす部分の面積を求めよ．ただし，$0<a<1$とする．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第3問座標平面上に関数$f(x)=x^2-2x+2-|2x-2|$を用いて表される曲線$C:y=f(x)$がある．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$m$を定数とする．点$(0,\ 1)$を通る傾き$m$の直線と曲線$C$の交点の数を求めよ．
(3)直線$y=a^2$と曲線$C$によって囲まれる領域のうち，$a^2 \leqq y \leqq f(x)$かつ$0 \leqq x \leqq 2$を満たす部分の面積を求めよ．ただし，$0<a<1$とする．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$m$を定数とする．点$(0,\ 1)$を通る傾き$m$の直線と曲線$C$の交点の数を求めよ．
(3)直線$y=a^2$と曲線$C$によって囲まれる領域のうち，$a^2 \leqq y \leqq f(x)$かつ$0 \leqq x \leqq 2$を満たす部分の面積を求めよ．ただし，$0<a<1$とする．
国立 浜松医科大学 2015年 第2問整数ではない実数$x$に対して$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-[x]}$と定める．ただし，$[x]$は$l<x<l+1$を満たす整数$l$を表す．以下の問いに答えよ．
(1)$f(\sqrt{2}),\ f(f(\sqrt{2}))$を計算し，簡潔な形で答えよ．
(2)$f(\sqrt{3}),\ f(f(\sqrt{3})),\ f(f(f(\sqrt{3})))$を計算し，簡潔な形で答えよ．
(3)自然数$n$に対して，$n<x<n+1$かつ$f(x)=x$を満たす$x$を求めよ．
(4)自然数$n$を$1$つ固定する．$n<x<n+1$の範囲の$x$で，$f(x)$が整数ではなく，さらに$f(f(x))=x$を満たす$x$を大きい順に並べる．その中の$x$で$f(x)=x$を満たすものは何番目に現れるかを答えよ．
(1)$f(\sqrt{2}),\ f(f(\sqrt{2}))$を計算し，簡潔な形で答えよ．
(2)$f(\sqrt{3}),\ f(f(\sqrt{3})),\ f(f(f(\sqrt{3})))$を計算し，簡潔な形で答えよ．
(3)自然数$n$に対して，$n<x<n+1$かつ$f(x)=x$を満たす$x$を求めよ．
(4)自然数$n$を$1$つ固定する．$n<x<n+1$の範囲の$x$で，$f(x)$が整数ではなく，さらに$f(f(x))=x$を満たす$x$を大きい順に並べる．その中の$x$で$f(x)=x$を満たすものは何番目に現れるかを答えよ．
国立 豊橋技術科学大学 2015年 第3問二次関数$f(x)=x^2+ax+b$に関する以下の問いに答えよ．ただし，関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする．
【補足説明】$(2)$～$(5)$は，$(1)$で得られた$f(x)$を用いて解答すること．
(1)$f(x)$が$2f(x)=xf^\prime(x)+6$を満たすとき，$a=0$，$b=3$となることを示せ．
(2)点$(0,\ -1)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線が，$L_1:y=4x-1$，$L_2:y=-4x-1$になることを示せ．
(3)$2$本の接線$L_1,\ L_2$のなす角のうち鋭角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
【補足説明】$(2)$～$(5)$は，$(1)$で得られた$f(x)$を用いて解答すること．
(1)$f(x)$が$2f(x)=xf^\prime(x)+6$を満たすとき，$a=0$，$b=3$となることを示せ．
(2)点$(0,\ -1)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線が，$L_1:y=4x-1$，$L_2:y=-4x-1$になることを示せ．
(3)$2$本の接線$L_1,\ L_2$のなす角のうち鋭角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
国立 筑波大学 2015年 第4問$f(x)=\log (e^x+e^{-x})$とおく．曲線$y=f(x)$の点$(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と$y$軸の交点の$y$座標を$b(t)$とおく．
(1)次の等式を示せ．
\[ b(t)=\frac{2te^{-t}}{e^t+e^{-t}}+\log (1+e^{-2t}) \]
(2)$x \geqq 0$のとき，$\log (1+x) \leqq x$であることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，
\[ b(t) \leqq \frac{2}{e^t+e^{-t}}+e^{-2t} \]
であることを示せ．
(4)$\displaystyle b(0)=\lim_{x \to \infty} \int_0^x \frac{4t}{(e^t+e^{-t})^2} \, dt$であることを示せ．
(1)次の等式を示せ．
\[ b(t)=\frac{2te^{-t}}{e^t+e^{-t}}+\log (1+e^{-2t}) \]
(2)$x \geqq 0$のとき，$\log (1+x) \leqq x$であることを示せ．
(3)$t \geqq 0$のとき，
\[ b(t) \leqq \frac{2}{e^t+e^{-t}}+e^{-2t} \]
であることを示せ．
(4)$\displaystyle b(0)=\lim_{x \to \infty} \int_0^x \frac{4t}{(e^t+e^{-t})^2} \, dt$であることを示せ．
国立 筑波大学 2015年 第5問$f(x),\ g(x),\ h(x)$を
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(\cos x-\sin x)$
$\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$
$h(x)=\sin x$
とおく．$3$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$，$y=h(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす部分を，それぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$とする．
(1)$C_2$と$C_3$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_3$の交点の$x$座標を$\alpha$とする．$\sin \alpha$，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(3)$C_1$，$C_2$，$C_3$によって囲まれる図形の面積を求めよ．
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(\cos x-\sin x)$
$\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$
$h(x)=\sin x$
とおく．$3$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$，$y=h(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす部分を，それぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$とする．
(1)$C_2$と$C_3$の交点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_3$の交点の$x$座標を$\alpha$とする．$\sin \alpha$，$\cos \alpha$の値を求めよ．
(3)$C_1$，$C_2$，$C_3$によって囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 福島大学 2015年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)次の不等式を解きなさい．
\[ |x-5|>\frac{3x-2}{2} \]
(2)次の不等式を解きなさい．
\[ \log_{0.5}(x+5)<2 \log_{0.5}(x-1) \]
(3)次の関数を微分しなさい．
\[ y=\frac{(x-2)(x-3)}{x-1} \]
(4)次の定積分を求めなさい．
\[ \int_0^{\frac{3}{2}} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} \, dx \]
(1)次の不等式を解きなさい．
\[ |x-5|>\frac{3x-2}{2} \]
(2)次の不等式を解きなさい．
\[ \log_{0.5}(x+5)<2 \log_{0.5}(x-1) \]
(3)次の関数を微分しなさい．
\[ y=\frac{(x-2)(x-3)}{x-1} \]
(4)次の定積分を求めなさい．
\[ \int_0^{\frac{3}{2}} \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} \, dx \]
国立 福島大学 2015年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)次の関数の最大値および最小値を求めなさい．
\[ f(x)=|x|+|x-1|+|x-2| \quad (-1 \leqq x \leqq 3) \]
(2)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，$\log_{10}x+\log_{10}y$の最大値を求めなさい．
(3)$f(\theta)=5 \sin \theta-12 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$の最大値および最小値を求めなさい．
(1)次の関数の最大値および最小値を求めなさい．
\[ f(x)=|x|+|x-1|+|x-2| \quad (-1 \leqq x \leqq 3) \]
(2)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，$\log_{10}x+\log_{10}y$の最大値を求めなさい．
(3)$f(\theta)=5 \sin \theta-12 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$の最大値および最小値を求めなさい．
国立 福島大学 2015年 第2問$3$点$\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-2,\ 7)$を通る$2$次関数$y=f(x)$上に点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$がある．ただし，$-2<p \leqq -1$とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ACP}$の面積を$p$の式で表しなさい．
(3)三角形$\mathrm{ACP}$の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(1)$f(x)$を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ACP}$の面積を$p$の式で表しなさい．
(3)三角形$\mathrm{ACP}$の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
国立 福島大学 2015年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)次の関数の最大値および最小値を求めなさい．
\[ f(x)=|x|+|x-1|+|x-2| \quad (-1 \leqq x \leqq 3) \]
(2)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，$\log_{10}x+\log_{10}y$の最大値を求めなさい．
(3)$f(\theta)=5 \sin \theta-12 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$の最大値および最小値を求めなさい．
(1)次の関数の最大値および最小値を求めなさい．
\[ f(x)=|x|+|x-1|+|x-2| \quad (-1 \leqq x \leqq 3) \]
(2)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=10$のとき，$\log_{10}x+\log_{10}y$の最大値を求めなさい．
(3)$f(\theta)=5 \sin \theta-12 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$の最大値および最小値を求めなさい．