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国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)=e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x} (x \geqq 0)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x) \geqq 0$を示せ．また等号が成立するような$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$f(x) \geqq 0$を示せ．また等号が成立するような$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)=e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x} (x \geqq 0)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x) \geqq 0$を示せ．また等号が成立するような$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$f(x) \geqq 0$を示せ．また等号が成立するような$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
国立 千葉大学 2015年 第5問関数$f(x)=|x+2 \sin (x+a)+b|$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$での最大値と最小値の差は，定数$a,\ b$によらず常に$\pi$以上で，かつ$\displaystyle \left( \frac{4\pi}{3}+2 \sqrt{3} \right)$以下であることを示せ．
国立 和歌山大学 2015年 第4問関数$f(x)$と定数$a,\ b$が次の等式を満たしている．
\[ \int_0^x (x-t)f(t) \, dt=e^x+2e^{-x}-\frac{3}{2}x^2+ax+b \]
ただし，$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$と定数$a,\ b$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
\[ \int_0^x (x-t)f(t) \, dt=e^x+2e^{-x}-\frac{3}{2}x^2+ax+b \]
ただし，$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$と定数$a,\ b$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 岐阜大学 2015年 第2問関数$f(x)=x^2-2px+q$は最小値$-4$をとるものとする．以下の問に答えよ．
(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$f(x)=0$となる$x$を$p$を用いて表せ．
(3)$p>0$のとき，関数$g(x)=|f(x)| (-1 \leqq x \leqq 1)$の最小値を与える$x$を求めよ．
(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$f(x)=0$となる$x$を$p$を用いて表せ．
(3)$p>0$のとき，関数$g(x)=|f(x)| (-1 \leqq x \leqq 1)$の最小値を与える$x$を求めよ．
国立 岐阜大学 2015年 第4問関数$f(x)=x^3-3x^2+x$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．以下の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．またグラフを描け．
(2)$a$を実数とする．直線$y=ax$と$C$の共有点が異なる$2$点のみであるときの$a$の値をすべて求めよ．また，求めたそれぞれの$a$の値に対して，共有点の$x$座標を求めよ．
(3)$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．$\ell$と$C$の共有点が$\mathrm{P}$のみであるとき，$t$が満たす条件を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．またグラフを描け．
(2)$a$を実数とする．直線$y=ax$と$C$の共有点が異なる$2$点のみであるときの$a$の値をすべて求めよ．また，求めたそれぞれの$a$の値に対して，共有点の$x$座標を求めよ．
(3)$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．$\ell$と$C$の共有点が$\mathrm{P}$のみであるとき，$t$が満たす条件を求めよ．
国立 岐阜大学 2015年 第2問関数$f(x)=x^2-2px+q$は最小値$-4$をとるものとする．以下の問に答えよ．
(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$f(x)=0$となる$x$を$p$を用いて表せ．
(3)$p>0$のとき，関数$g(x)=|f(x)| (-1 \leqq x \leqq 1)$の最小値を与える$x$を求めよ．
(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$f(x)=0$となる$x$を$p$を用いて表せ．
(3)$p>0$のとき，関数$g(x)=|f(x)| (-1 \leqq x \leqq 1)$の最小値を与える$x$を求めよ．
国立 岐阜大学 2015年 第4問関数$f(x)=e^{-x}$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．$t>0$として，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)原点を$\mathrm{O}$とするとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．$t$が変化するとき，$S$の最大値を求めよ．また，そのときの$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$(2)$で求めた$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)原点を$\mathrm{O}$とするとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．$t$が変化するとき，$S$の最大値を求めよ．また，そのときの$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$(2)$で求めた$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．