実数$p,\ q$に対して，
\[ f(x)=x^2+px+q,\quad g(x)=x^3-3x \]
とおく．$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$として，次の問に答えよ．

(1)$2$次方程式の解と係数の関係を用いて，積$g(\alpha)g(\beta)$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$であるとき，点$(p,\ q)$の集合を座標平面上に図示せよ．
(3)$g(\alpha)=0$または$g(\beta)=0$ならば，$\alpha$と$\beta$は実数であることを示せ．

$0 \leqq t<2\pi$とする．関数$f(x)=2x^2+(2+\sin t)x+\cos^2 t-2$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$のとき，$y=f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$t$がどのような値であっても，$y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる$2$つの共有点を持つことを示せ．
(3)$y=f(x)$のグラフが，$x$軸から切り取る線分の長さの最小値を求めよ．
(4)$(3)$のとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=nx^2-2(a_1+a_2+\cdots +a_n)x+({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2)$を考える．ただし，$n$は正の整数で，$a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n$は実数である．次の問いに答えよ．

(1)$n=1$および$n=2$のとき，常に$f(x) \geqq 0$であることを示せ．
(2)すべての$n$に対し，常に$f(x) \geqq 0$であることを示せ．
(3)${(a_1+a_2+\cdots +a_n)}^2 \leqq n({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2)$であることを示せ．
(4)${(a_1+a_2+\cdots +a_n)}^2=n({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2)$であれば，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$はすべて等しいことを示せ．

次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数で$a \neq 1$とする．

(1)$a^x=e^{f(x)}$をみたす関数$f(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int a^x \, dx$を求めよ．
(3)$3^{|1-x|}(1+|y|) \leqq 3$をみたす実数の組$(x,\ y)$の範囲を$xy$平面上に図示せよ．
(4)$(3)$で図示された範囲の面積を求めよ．

関数$f(x)={(\log x)}^2$とおく．$t$を正の数とするとき，下の問いに答えなさい．

(1)$f^\prime(x)$を求めなさい．
(2)$x=t$における$y=f(x)$の接線の方程式を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた接線と$y$軸との交点の$y$座標$g(t)$を求めなさい．
(4)$g(t)$の最小値と，その最小値を与える$t$の値を求めなさい．

$a,\ b$を定数とし，関数$f(x)$を
\[ f(x)=x^3+ax+b \]
と定める．また，$f(-2)=-1$，$f^\prime(-2)=9$とする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(-2,\ -1)$における接線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{A}$を通らない$\ell$に平行な$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，$\ell$および$m$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$m$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=(x^2-6x+8) e^{-x} \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)$はすべての実数$x$について
\[ f(x)=x+e^x \int_0^x e^{-t} f(t) \, dt \]
を満たす．

(1)$f(0)$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=2f(x)-x+1$が成り立つことを示せ．
(3)$g(x)=e^{-2x}f(x)$とする．$g^\prime(x)$を求めよ．
(4)$f(x)$を求めよ．

すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(0)$を求めよ．
(2)$f^\prime(0)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ．

すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(0)$を求めよ．
(2)$f^\prime(0)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ．