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国立 静岡大学 2015年 第3問$e$を自然対数の底とし，$0 \leqq x \leqq e$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_0^2 |e^t-x^2| \, dt$について，次の問いに答えよ．
(1)定積分を計算し，$f(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$の値もそれぞれ求めよ．
(1)定積分を計算し，$f(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$の値もそれぞれ求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第3問$e$を自然対数の底とし，$0 \leqq x \leqq e$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_0^2 |e^t-x^2| \, dt$について，次の問いに答えよ．
(1)定積分を計算し，$f(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$の値もそれぞれ求めよ．
(1)定積分を計算し，$f(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらの値をとるときの$x$の値もそれぞれ求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第3問関数$f(x)=x^3-9x^2+24x$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減，極値を調べて，グラフの概形をかけ．
(2)$k$を定数とするとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$の共有点の個数を調べよ．
(1)$f(x)$の増減，極値を調べて，グラフの概形をかけ．
(2)$k$を定数とするとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$の共有点の個数を調べよ．
国立 熊本大学 2015年 第4問$f(x)$は$x$の$3$次多項式とし，$x^3$の係数は$1$，定数項は$0$とする．$2$つの異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して$f^\prime(\alpha)=f^\prime(\beta)=0$が満たされているとする．以下の問いに答えよ．
(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．
(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．
国立 熊本大学 2015年 第1問$f(x)$は$x$の$3$次多項式とし，$x^3$の係数は$1$，定数項は$0$とする．$2$つの異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して$f^\prime(\alpha)=f^\prime(\beta)=0$が満たされているとする．以下の問いに答えよ．
(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．
(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第3問$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．
(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．
国立 琉球大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle F(x)=\int_x^{2x} e^t \, dt$とするとき，$F(1)$および$F^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x),\ g(x)$が，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(x)+\int_0^x g(t) \, dt=2 \sin x-3 \\
f^\prime(x)g(x)=\cos^2 x \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たすとき，$f(x)$，$g(x)$を求めよ．
(1)$\displaystyle F(x)=\int_x^{2x} e^t \, dt$とするとき，$F(1)$および$F^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x),\ g(x)$が，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(x)+\int_0^x g(t) \, dt=2 \sin x-3 \\
f^\prime(x)g(x)=\cos^2 x \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たすとき，$f(x)$，$g(x)$を求めよ．
国立 琉球大学 2015年 第2問関数$f(x)=|x| \sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx$を求めよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx$を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第4問$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．
(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．
国立 香川大学 2015年 第4問$b$を$b>2 \sqrt{2}$を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$f(x)=x+(e^x-b)e^x$とするとき，方程式$f(x)-a=0$が異なる$3$個の実数解をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)実数$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとする．このとき，点$(a,\ b)$を中心とする円で，曲線$y=e^x$と異なる$4$点で交わるものが存在することを示せ．
(1)$f(x)=x+(e^x-b)e^x$とするとき，方程式$f(x)-a=0$が異なる$3$個の実数解をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)実数$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとする．このとき，点$(a,\ b)$を中心とする円で，曲線$y=e^x$と異なる$4$点で交わるものが存在することを示せ．