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国立 東北大学 2015年 第2問$xy$平面において，$3$次関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とし，不等式
\[ x^3-x>y>-x \]
の表す領域を$D$とする．また，$\mathrm{P}$を$D$の点とする．
(1)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する直線が$3$本存在することを示せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する$3$本の直線の傾きの和と積がともに$0$となるような$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
\[ x^3-x>y>-x \]
の表す領域を$D$とする．また，$\mathrm{P}$を$D$の点とする．
(1)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する直線が$3$本存在することを示せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する$3$本の直線の傾きの和と積がともに$0$となるような$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第4問$a>0$を実数とする．関数$f(t)=-4t^3+(a+3)t$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を$M(a)$とする．
(1)$M(a)$を求めよ．
(2)実数$x>0$に対し，$g(x)=M(x)^2$とおく．$xy$平面において，関数$y=g(x)$のグラフに点$(s,\ g(s))$で接する直線が原点を通るとき，実数$s>0$とその接線の傾きを求めよ．
(3)$a$が正の実数全体を動くとき，
\[ k=\frac{M(a)}{\sqrt{a}} \]
の最小値を求めよ．
(1)$M(a)$を求めよ．
(2)実数$x>0$に対し，$g(x)=M(x)^2$とおく．$xy$平面において，関数$y=g(x)$のグラフに点$(s,\ g(s))$で接する直線が原点を通るとき，実数$s>0$とその接線の傾きを求めよ．
(3)$a$が正の実数全体を動くとき，
\[ k=\frac{M(a)}{\sqrt{a}} \]
の最小値を求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第3問$f(x)=x^2-2x+2$とする．放物線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における接線を$\ell_1$とし，放物線$y=f(x)$上の点$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$における接線を$\ell_2$とする．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．ただし$p$は定数である．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式をそれぞれ$p$を用いて表せ．
(2)交点$\mathrm{R}$の座標を$p$を用いて表せ．
(3)放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式をそれぞれ$p$を用いて表せ．
(2)交点$\mathrm{R}$の座標を$p$を用いて表せ．
(3)放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第3問座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上の点を$\mathrm{A}(a,\ b)$とし，$f(x)=(x-a)^2+b$とする．点$\mathrm{B}(0,\ -2)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線を$\ell_1$，$\ell_2$とし，接点をそれぞれ$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(q,\ f(q))$とする．ただし$p<q$である．放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell_1$の方程式と接点$\mathrm{P}$の座標，および接線$\ell_2$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)面積$S$を$b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$が円周$C$上を動くとき，面積$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{A}$の座標$(a,\ b)$を求めよ．
(1)接線$\ell_1$の方程式と接点$\mathrm{P}$の座標，および接線$\ell_2$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)面積$S$を$b$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$が円周$C$上を動くとき，面積$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{A}$の座標$(a,\ b)$を求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第5問自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を次のように定める．
\[ \begin{array}{ll}
f_1(x)=1-\displaystyle\frac{x^2}{2} \phantom{\frac{[ ]}{2}} & \\
f_n(x)=\int_0^x f_{n-1}(t) \, dt \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (n \text{が偶数のとき}) \\
f_n(x)=1-\int_0^x f_{n-1}(t) \, dt \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (n \text{が}3 \text{以上の奇数のとき})
\end{array} \]
次の問いに答えよ．ただし必要があれば，$0<x \leqq 1$のとき$\displaystyle x-\frac{x^3}{3!}<\sin x<x$が成り立つことを用いてよい．
(1)関数$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ -\frac{x^4}{4!} \leqq f_1(x)-\cos x \leqq \frac{x^4}{4!} \]
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，次の不等式
\[ -\frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!} \leqq f_{2m-1}(x)-\cos x \leqq \frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!} \]
がすべての自然数$m$に対して成り立つことを示せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{m \to \infty} f_{2m-1} \left( \frac{\pi}{6} \right)$を求めよ．
\[ \begin{array}{ll}
f_1(x)=1-\displaystyle\frac{x^2}{2} \phantom{\frac{[ ]}{2}} & \\
f_n(x)=\int_0^x f_{n-1}(t) \, dt \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (n \text{が偶数のとき}) \\
f_n(x)=1-\int_0^x f_{n-1}(t) \, dt \phantom{\frac{[ ]}{2}} & (n \text{が}3 \text{以上の奇数のとき})
\end{array} \]
次の問いに答えよ．ただし必要があれば，$0<x \leqq 1$のとき$\displaystyle x-\frac{x^3}{3!}<\sin x<x$が成り立つことを用いてよい．
(1)関数$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ -\frac{x^4}{4!} \leqq f_1(x)-\cos x \leqq \frac{x^4}{4!} \]
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，次の不等式
\[ -\frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!} \leqq f_{2m-1}(x)-\cos x \leqq \frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!} \]
がすべての自然数$m$に対して成り立つことを示せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{m \to \infty} f_{2m-1} \left( \frac{\pi}{6} \right)$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$2$次関数$f(x)$が
\[ f(x)=6x^2-\left( \int_0^1 f(t) \, dt \right)^2 \]
をみたすとき，$f(x)$を求めよ．
(2)$2$次関数$g(x)$が
\[ g(x)=4x^2-\left( \int_0^1 |g(t)| \, dt \right)^2 \]
をみたすとき，$g(x)$を求めよ．
(1)$2$次関数$f(x)$が
\[ f(x)=6x^2-\left( \int_0^1 f(t) \, dt \right)^2 \]
をみたすとき，$f(x)$を求めよ．
(2)$2$次関数$g(x)$が
\[ g(x)=4x^2-\left( \int_0^1 |g(t)| \, dt \right)^2 \]
をみたすとき，$g(x)$を求めよ．
国立 埼玉大学 2015年 第3問$f(x)=x^4-2x^3$とし，曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(\alpha,\ f(\alpha))$における接線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\alpha=1$のとき，$\ell$と$C$との$\mathrm{P}$以外の共有点をすべて求めよ．
(3)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外に$2$つの共有点を持つような$\alpha$の範囲を求めよ．
(4)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外の共有点$(\beta,\ f(\beta))$，$(\gamma,\ f(\gamma)) (\beta<\gamma)$を持つとする．このとき，$\gamma-\beta$が最大となる$\alpha$の値を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\alpha=1$のとき，$\ell$と$C$との$\mathrm{P}$以外の共有点をすべて求めよ．
(3)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外に$2$つの共有点を持つような$\alpha$の範囲を求めよ．
(4)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外の共有点$(\beta,\ f(\beta))$，$(\gamma,\ f(\gamma)) (\beta<\gamma)$を持つとする．このとき，$\gamma-\beta$が最大となる$\alpha$の値を求めよ．
国立 埼玉大学 2015年 第3問$f(x)=x^4-2x^3$とし，曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(\alpha,\ f(\alpha))$における接線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\alpha=1$のとき，$\ell$と$C$との$\mathrm{P}$以外の共有点をすべて求めよ．
(3)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外に$2$つの共有点を持つような$\alpha$の範囲を求めよ．
(4)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外の共有点$(\beta,\ f(\beta))$，$(\gamma,\ f(\gamma)) (\beta<\gamma)$を持つとする．このとき，$\gamma-\beta$が最大となる$\alpha$の値を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\alpha=1$のとき，$\ell$と$C$との$\mathrm{P}$以外の共有点をすべて求めよ．
(3)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外に$2$つの共有点を持つような$\alpha$の範囲を求めよ．
(4)$\ell$と$C$が$\mathrm{P}$以外の共有点$(\beta,\ f(\beta))$，$(\gamma,\ f(\gamma)) (\beta<\gamma)$を持つとする．このとき，$\gamma-\beta$が最大となる$\alpha$の値を求めよ．
国立 埼玉大学 2015年 第4問関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{\cos \theta \sin \theta}{\cos^4 \theta+\sin^4 \theta}$について，次の問いに答えよ．
(1)$t=\tan^2 \theta$と変数変換することにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\theta) \, d\theta$を求めよ．
(2)$f(\theta)$の最大値および最小値を求めよ．
(1)$t=\tan^2 \theta$と変数変換することにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\theta) \, d\theta$を求めよ．
(2)$f(\theta)$の最大値および最小値を求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第1問関数$f(x)=x^3-9x^2+24x$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減，極値を調べて，グラフの概形をかけ．
(2)$k$を定数とするとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$の共有点の個数を調べよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=6x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$f(x)$の増減，極値を調べて，グラフの概形をかけ．
(2)$k$を定数とするとき，曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$の共有点の個数を調べよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=6x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．