次の等号を満たす正の定数$a$，および1次関数$f(x)$を求めよ．
\[ \int_a^x (t-1)f(t) \, dt=-\frac{1}{2}x^2-x+x^3 \int_0^1 2t^2 \, dt \]

関数$f(x)=(1-x)e^{2x}$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C:y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(2)上で求めた変曲点と点$(1,\ 0)$とを通る直線を$\ell$とする．曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$y=x^2-4ax+7 \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．

$\displaystyle f(x)=\frac{4}{3+4x^2}$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$の交点のうち，$x$座標が正であるものをPとする．点Pにおける$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．
(2)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)直線$y=1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．

$f(x)=2x^2-4x+3,\ g(x)=-x^2-2x-2$とする．次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点と放物線$y=g(x)$の頂点を通る直線とこれらの放物線との交点をすべて求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$の両方に接する2本の直線の交点を求めよ．

次の問いに答えよ．

\mon[問1] 次の関数の導関数を求めよ．

\mon[(1)] $y=e^{2-3x}$
\mon[(2)] $\displaystyle y=\sqrt{\frac{2-x}{x+2}}$

\mon[問2] 次の不定積分を求めよ．

\mon[(1)] $\displaystyle \int \log (1+2x) \, dx$
\mon[(2)] $\displaystyle \int \frac{1}{1+e^x} \, dx$

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{5+4 \cos x}} \quad (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^{\, \prime}(x)$を求め，$f(x)$の増減を調べよ．また，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ．

関数$y=x^2-4ax+7 \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．

関数$f(x)$を次のように定める．
\[ f(x)=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x} \quad (-1 \leqq x \leqq 1) \]
このとき次の問いに答えよ．

(1)$x=-1,\ x=1,\ y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(2)図形$D$を$x$軸のまわりに回転してできる図形の体積を求めよ．

曲線$y=f(x)=x^3-x$上の点A$(a,\ f(a))$での接線を$\ell$とする．ただし$a>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式$y=g(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$と$\ell$の接点以外の交点Bの座標$(b,\ f(b))$を求めよ．
(3)$x \leqq 2a$において，$f(x)-g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．