次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{10^x-10^{-x}}{10^x+10^{-x}}$が$\displaystyle f(a)=\frac{1}{2},\ f(b)=\frac{1}{5}$を満たすとき，
\[ a=\frac{1}{2} \log_{10} [　],\quad b=\frac{1}{2}(\log_{10} [　]-\log_{10} [　]) \]
であり，$f(a+b)$の値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．
(2)関数$f(x)=2^{-3x}-9 \cdot 2^{-2x}+24 \cdot 2^{-x}-20$は$\displaystyle -2 \leqq x \leqq -\frac{1}{2}$において最小値$-[　]$，最大値$[　]$をとる．

平面上に$4$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(4,\ 1)$，$\mathrm{C}(4,\ 4)$，$\mathrm{D}(1,\ 4)$をとる．また$a>0$とし，$y=a^2x^2$で定まる放物線を$T$とする．ただし，$T$は辺$\mathrm{CD}$と交点をもつものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a$の範囲を求めよ．
(2)$T$が四角形$\mathrm{ABCD}$を$2$つに分割するとき，$T$よりも右側にある部分の面積を$S$とする．$S$を$a$の関数で表せ．
(3)$T$が四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$2$等分するときの$a$の値を求めよ．

$x$の$2$次関数$f(x)=x^2-2ax+a^3$について次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値$m$を$a$を用いて表せ．
(2)区間$0 \leqq a \leqq 2$における$m$の最小値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，
\[ (1-t)\mathrm{AB}^2+t \mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\frac{1-t}{t} \mathrm{BD}^2 \]
が成り立つことを示せ．ただし$0<t<1$とする．
(2)$f(x)=x^3+ax^2+bx$とする．ただし，$a,\ b$は実数で$a>0$とする．方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解を持ち，関数$y=f(x)$が異なる$2$点$x=\alpha$，$x=\beta$で極値をとるとき，$\alpha,\ \beta$はいずれも負であることを示せ．
(3)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-1 \\
y \leqq -x^2+3x+1 \\
x \geqq 0
\end{array} \right. \]
の表す領域の面積を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)関数$y=x^3+3x^2-2$のグラフを描け．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=(-\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta)^3+3(-\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta)^2-2$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．関数$y=x-\sin 2x$の最大値を求めよ．
(2)円周上を$9$等分する点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_9$とする．このとき，これらの点を頂点とする正三角形は何個あるか．また，正三角形でない二等辺三角形は何個あるか．
(3)関数$y=|\abs{x-1|-2}$のグラフを描け．

$x \geqq 0$の範囲で関数$y=\sqrt{x}e^{-x}$のグラフを$C$とする．

(1)$C$の概形を描け．ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$は証明せずに使ってよい．
(2)$M>0$とする．曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体のうち，$x \leqq M$の部分の体積$V(M)$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{M \to \infty}V(M)$を求めよ．

式，$1$次関数，$2$次関数について以下の問に答えよ．

(1)次の式を因数分解せよ．

\mon[$①$] $16xy-40x-6y+15$
\mon[$②$] $9x^2+12xy+4y^2+12x+8y$
\mon[$③$] $54x^3-16y^3$
\mon[$④$] $x^4-16y^4$

(2)$1$次関数$y=ax+b$の$-3 \leqq x \leqq 4$における最大値が$6$，最小値が$-2$であるとき，定数$a,\ b$の値をすべて求めよ．
(3)次の$2$次関数の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値を求めよ．

\mon[$①$] $y=-2x^2+4x+4$
\mon[$②$] $y=3x^2+5x+1$

式，$1$次関数，$2$次関数について以下の問に答えよ．

(1)次の式を因数分解せよ．

\mon[$①$] $16xy-40x-6y+15$
\mon[$②$] $9x^2+12xy+4y^2+12x+8y$
\mon[$③$] $54x^3-16y^3$
\mon[$④$] $x^4-16y^4$

(2)$1$次関数$y=ax+b$の$-3 \leqq x \leqq 4$における最大値が$6$，最小値が$-2$であるとき，定数$a,\ b$の値をすべて求めよ．
(3)次の$2$次関数の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値を求めよ．

\mon[$①$] $y=-2x^2+4x+4$
\mon[$②$] $y=3x^2+5x+1$

関数$f(x)=x^2-1$と$g(x)=2a-f(x)$がある．ただし，$a$は定数とする．

(1)方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$2$つの実数解を持ち，かつ，それらが$-1$より大きいとき，$a$の値の範囲を求めよ．また，このとき，方程式$f(x)-g(x)=0$の解を求めよ．
(2)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとし，座標平面上に$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフがあるとする．

\mon[$(2$-$1)$] $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフとで囲まれる部分の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$2)$] $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点のうち，$x$座標が負である共有点を$\mathrm{P}$とする．このとき，直線$x=-1$，$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，$y=f(x)$のグラフ，および，$y=g(x)$のグラフとで囲まれる部分の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$3)$] 面積の和$S=S_1+S_2$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$4)$] $(1)$で求めた範囲内で$a$を変化させたとき，$S$の最小値とその最小値を与える$a$の値を求めよ．