$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)一般項が$a_n=2n+1$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_{10}=[ア]$であり，$S_n=9999$となるのは$n=[イ]$のときである．
(2)$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$のとき，$A^2-4A=[ウ]$であり，$A^3-5A^2+A-E=[エ]$である．
(3)複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^3+\beta^3=-2$，$\alpha\beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta=[オ]$であり，$\alpha^2+\beta^2=[カ]$である．
(4)関数$\displaystyle y=|\cos x|+2 \sin \frac{x}{2}$を考える．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[キ]$である．$\displaystyle \frac{\pi}{2}<x \leqq \pi$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[ク]$である．
(5)$1$と書かれたカード，$2$と書かれたカード，$3$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋がある．この袋からでたらめにカードを$1$枚取り出して，書かれた数字の数だけコインをもらい，カードを袋に戻すという試行を繰り返すゲームを行う．ゲームが終了するのは，試行を$2$回繰り返した後にそれまでにもらったコインの枚数の合計がちょうど$4$枚になったとき，または，そうならずに試行を$3$回繰り返したときのいずれかである．このゲームが終了したときに，それまでにもらったコインの枚数の合計が$4$枚である確率は$[ケ]$であり，$6$枚以上である確率は$[コ]$である．

$3$次関数$f(x)=x^3-9px^2+15p^2x-q$について，次の問に答えよ．

(1)$p=1$，$q=0$のとき，$x=[ナ]$で極小値$[ニヌネ]$をとり，$x=[ノ]$で極大値$[ハ]$をとる．
(2)$p$を正の定数とする．$f(x)=0$が$3$つの異なる実数解を持つときの$q$の範囲は，$[ヒフヘ]p^3<q<[ホ]p^3$である．

$xy$平面上の$3$点$(0,\ -13)$，$(1,\ -6)$，$(3,\ 2)$を通る$2$次関数のグラフ$y=f(x)$があり，これと$x$軸で囲まれた部分の中に存在する平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を考える．ここで，平行四辺形の辺$\mathrm{AB}$は$x$軸上にあり，点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$は$2$次関数のグラフ上にある．ただし，点$\mathrm{A}$の$x$座標は点$\mathrm{B}$の$x$座標より小さく，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$4$より大きいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)上の条件を満たす$f(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$の$x$座標を$t$とするとき，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$の最大値を求めよ．

$a$を正の実数とし，関数$y=x^2+a$のグラフを$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$において$C$に接線$\ell$をひき，$\ell$と$y=x^2$のグラフの交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{R}$の$x$座標を$\beta$とするとき，$|\alpha-\beta|$は$\mathrm{P}$の取り方によらないことを証明せよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x$について次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極大値，極小値とそれらを与える$x$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$の解を求め，関数$y=|f(x)|$のグラフの概形をかけ．

次の関数について問いに答えなさい．
\[ y=-2x^3-3x^2+12x-5 \]

(1)この関数の導関数$y^\prime$を求めなさい．
(2)導関数$y^\prime$が$0$になる点を求めなさい．
(3)関数$y$の極大値と極小値を求めなさい．
(4)関数$y$の増減表を書きなさい．

関数$f(x)=x^3-ax^2-a^2x+b$の極大値と極小値の差が$4$であるとき，次の設問に答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの正の解と$1$つの負の解をもつような定数$b$の値の範囲を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$（ただし$x \neq 0$）において

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=[ア]$である．
(2)$f^\prime(x)=[イ]$である．
(3)$f(0)=[ア]$と定義したとき，$f(x)$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$x=[エ]$のとき$[オ]$である．

関数$f(x)$は$\displaystyle f(x)=3x+2 \int_0^1 (t+e^x)f(t) \, dt$をみたしている．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=a,\ \int_0^1 xf(x) \, dx=b$とするとき，$f(x)$を$x,\ a,\ b$の式で表せ．

(2)$a,\ b$の値および$f(x)$を求めよ．