$-1 \leqq a \leqq 1$の範囲の実数$a$に対して
\[ f(a)=\int_{-1}^1 x |x-a| \, dx \]
とおく．$k$を実数とし，区間$-1 \leqq x \leqq 1$を定義域とする関数
\[ g(x)=12f(x)+kx \]
を考える．

(1)$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲で
\[ 12f(x)=[ハ]x^3-[ヒ]x \]
が成り立つ．
(2)関数$g(x)$が$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$で最小値をとるとき，$k=[フ]$である．
(3)関数$g(x)$が最小値をとるような$x$の値が$2$つあるとき，$k=[ヘ]$である．このときの$g(x)$の最小値は$[ホ]$である．

関数$y=2 \cos^2 x+2 \sin x+a (0 \leqq x \leqq 2\pi)$（$a$は実数）の最小値が$-3$となるとき，$a^2$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3-px^2+(p^2-2p)x+q$（$p>0$，$q>0$，$p$および$q$は整数とする）について考える．$f(x)=0$が$1$つの負の実数解と相異なる$2$つの正の実数解をもつとき，$pq$の値を求めよ．

$a$を実数とし，関数$f(x)$は$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_0^a x \{ 2f(t)-tf^\prime(t) \} \, dt+1$および$\displaystyle \int_{-1}^0 f(x) \, dx=-\frac{1}{3}$を満たすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^a \{ 2f(t)-tf^\prime(t) \} \, dt$の値を求めよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$y=f(x)$と$y=2f(x)-xf^\prime(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$x>0$の範囲で定義された関数$f(x)=x \log x$，$g(x)=x^x$について，以下の問いに答えよ．ただし，対数は$e$を底とする自然対数である．

(1)$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$g(x)$の導関数を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{3} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$の範囲における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$2$次方程式$x^2-2x+3=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2=[1]$，$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}+\frac{\alpha^2}{\beta}=[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．$a=3$，$b=4$，$\angle \mathrm{C}=30^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[3]$である．また，$a=3$，$b=4$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$のとき，$\angle \mathrm{C}>90^\circ$ならば，$c=[4]$である．
(3)不等式$\log_2 (\log_2 (\log_2 x)) \leqq 1$をみたす$x$の値の範囲は，$[5]<x \leqq [6]$である．
(4)関数$y=(x^2+4x+5)(x^2+4x+2)+2x^2+8x+1$は，$x=[7]$のとき最小値$[8]$をとる．
(5)つぼの中に赤玉$5$個，白玉$5$個，青玉$2$個がある．玉を一度に$4$個取り出すとき，その$4$個の玉が$1$種類の色の玉からなる確率は$[9]$であり，$3$種類の色の玉からなる確率は$[10]$である．

$x>0$の範囲で，関数
\[ f(x)=\frac{3}{x^2}-\frac{4}{x}+1 \]
を考える．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を求めなさい．
(2)$f(x)$の増減を調べなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=3x^2-2ax+b \]
とする．ただし，$a,\ b$は実数である．また，関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定義する．以下の問いに答えなさい．

(1)$F(x)$を求めなさい．
(2)放物線$y=f(x)$の頂点の$y$座標は$-3$であり，$y=f(x)$のグラフと$y=F(x)$のグラフとは$x$軸上で原点以外の共有点をもつ．このとき，$a,\ b$を求めなさい．
(3)(2)で求めた$a,\ b$に対し，$y=F(x)$の極大値と極小値を求め，$y=F(x)$のグラフを描きなさい．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)分数式$\displaystyle \frac{x^3+2x^2+4x-7}{x^2+2x-3}$を約分して既約分数にすると$[ア]$である．また，等式$ax(x-1)+b(x-1)(x-2)+c(x-3)=3x^2+2x+1$が$x$についての恒等式となるように$a,\ b,\ c$の値を定めると，$(a,\ b,\ c)=[イ]$である．
(2)$3^{30}$の桁数を求めると$[ウ]$である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^{40}$を小数で表すと小数第$n$位に初めて$0$でない数が現れ，$n=[エ]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$は$x=1$で最小値$-1$をとる．$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^4+\beta^4$を$a$で表すと$\alpha^4+\beta^4=[オ]$である．また，$\alpha^4+\beta^4>6$を満たす$a$の値の範囲を求めると$[カ]$である．
(4)$a \geqq 0$とする．$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ 3)$からの距離の比が$2:1$である点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式は$[キ]$である．また，この図形が直線$y=x+2$と$2$つの共有点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をもち，線分$\mathrm{CD}$の長さが$2 \sqrt{2}$であるとき，$a$の値を求めると$a=[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)不等式$\log_2 (x^2-3x+6)>1+\log_2x$を満たす$x$の範囲は$[ア]$と$[イ]$である．
(2)実数係数の$3$次方程式$x^3-4x^2+ax-8=0$が，解$1+bi$（$b$は正の実数）をもつとき，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．
(3)$\angle \mathrm{B}$が直角の直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の大きさを$15^\circ$，$\mathrm{AC}$の長さを$b$とする．この三角形の面積を$b$で表すと$[オ]$であり，$\mathrm{BC}$の長さは$[カ]$である．
(4)円$x^2+y^2=1$の上を動く点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(0,\ -3)$，点$\mathrm{C}(4,\ 0)$の$3$点を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{G}$の軌跡は方程式$[キ]$で表され，$\mathrm{A}$と$\mathrm{G}$の距離の最大値は$[ク]$である．
(5)整式$f(x)$が，$\displaystyle \int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 xf(t) \, dt=x^2+2x+a$（$a$は実数）を満たすとき，$a=[ケ]$，$f(x)=[コ]$である．