$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$について，$f(0)=f(4)=2$，最小値が$-4$となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．

$2$つの関数$y = x^2,\ y = x^3-x$のグラフについて，次の設問に答えよ．

(1)交点の座標をすべて求めよ．
(2)$2$つの関数のグラフで囲まれた$2$つの図形の面積の和を求めよ．

関数$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$は$x = 1$で極値7をとり，$f(2) = 0$で，$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x^2-3x+2}=6$を満たす．このとき，定数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は$\displaystyle x=\frac{6-2 \sqrt{3}}{3}$と$\displaystyle x=\frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$で極値をとるものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は$\displaystyle x=\frac{6-2 \sqrt{3}}{3}$と$\displaystyle x=\frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$で極値をとるものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=\cos 2x+2a \cos x (0 \leqq x<2\pi)$について次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)$f(x)$を$\cos x$と$a$の式で表せ．
(2)$f(x)=-3$をみたす$x$の値が$1$つに限るような$a$の値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$f(x)$の最小値を$a$の式で表せ．

放物線$C:y=f(x)=ax^2+bx+c$は$3$点$(-2,\ 9m+9)$，$(-1,\ 4m+6)$，$(2,\ m-3)$をすべて通るものとする．ただし，$a,\ b,\ c,\ m$は実数とする．

(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$m$の式で表せ．
(2)放物線$C$の頂点の座標$(p,\ q)$を$m$の式で表せ．
(3)$q$を$p$の式で表せ．

$3$次関数$\displaystyle f(x)=2x^3+ax^2-4ax+\frac{7}{3}a$が極大値と極小値をとるとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=b$で極値$0$をとるとき，$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>0$とする．
(3)上の(2)が成り立つとき，もう一つの極値を求めよ．

$2$次関数$y=x^2+ax+b$と，この関数のグラフ$C$について，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は定数とする．

(1)$C$の頂点が$(2,\ -1)$のとき，$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(2)$C$の軸が直線$x=-1$で，$C$が点$(1,\ 1)$を通るとき，この関数の最小値を求めよ．
(3)$C$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$-a$平行移動すると，$2$点$(0,\ 0)$，$(2,\ -6)$を通る放物線になるとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)この関数の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値が$0$，最大値が$8$であるとき，$a,\ b$の値を求めよ．

次の各問題の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$x^3+ax^2+bx+1$を$x-1$で割ると余りは$4$であり，$2x-1$で割ると余りは$\displaystyle \frac{3}{2}$である．このとき$(a,\ b)=[ア]$である．
(2)$1$の数字が書かれたカード$1$枚，$2$の数字が書かれたカード$2$枚，$3$の数字が書かれたカード$2$枚の計$5$枚のカードを並べてできる$5$けたの数字の中で，$23000$より大きいものは$[イ]$個ある．
(3)関数$\displaystyle y=\sqrt{2} \sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)-\sin 2x$の最大値は$[ウ]$である．