$y=f(x)=(x+2)e^{-x}$を曲線$A$，$y=ax+2a$を直線$B$とする（ただし，$a$は$a \neq 0$の実数）．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減表を示せ．ただし，$f(x)$の第$2$次導関数まで求め，変曲点も増減表に示せ．
(3)曲線$A$が直線$B$に接するとき，$a$の値を求めよ．
(4)曲線$A$と直線$B$が接するとき，曲線$A$と直線$B$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

図に示す点$\mathrm{O}$を原点とする直交座標空間に点$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}$を，$xy$平面内で原点$\mathrm{O}$を中心として図に示す矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{Q}$をとる．さらに，点$\mathrm{Q}$および$z$軸を含む平面内で，点$\mathrm{O}$を中心として点$\mathrm{Q}$を矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{R}$をとる．ただし，角度$\theta$の範囲は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{R}$の座標$(x_\mathrm{R},\ y_\mathrm{R},\ z_\mathrm{R})$を，角度$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{ORP}=\frac{\pi}{3}$であるとき，角度$\theta$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$から平面$x+y=0$に下ろした垂線の長さ$l$を，角度$\theta$の関数で表せ．
(4)(3)で求めた垂線の長さ$l$が最大となるときの角度$\theta$の値とそのときの$l$の値を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-3x+2$について，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=|f(x)|$と直線$y=kx+6$とが異なる$4$点で交わるような実数$k$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$xy$平面上の次の$2$つの関数のグラフについて考える．
\[ \begin{array}{lll}
y = e^{|x|} & & \cdots\cdots① \\
y = ax+b & & \cdots\cdots②
\end{array} \]
以下の問に答えよ．

(1)$①，②$がただ$1$つの共有点をもつとき，$b$を$a$で表し，そのグラフを$ab$平面上に図示せよ．
(2)(1)のグラフを$b=f(a)$と表す．定数$p$に対して
\[ pa+f(a) \]
を最大にする$a$およびその最大値を求めよ．

$2$つの整式
\begin{eqnarray*}
f(x) &=& x^3+3x^2+mx+3 \\
g(x) &=& x^3+mx^2+(m+3)x+4
\end{eqnarray*}
を考える．ただし，$m$は整数の定数とする．$2$つの方程式$f(x)=0$，$g(x)=0$が共通の整数の解$n$をもつとき，次の問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ．
(2)関数$y=g(x)$の極値およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)$は次の等式を満たす．
\[ f(x) = \int_{-1}^1 xf(t)\, dt + 1 \]
次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフと，点P$(0,\ p)$を中心とする半径$1$の円が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わるとき，$p$が取り得る値の範囲を求めよ．
(3)(2)において，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(4)(2)において，$\angle \mathrm{APB} = \displaystyle\frac{2\pi}{3}$となるような$p$の値を求めよ．

次の[\phantom{ア]}にあてはまる数，数式または文字等を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)極限
\[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \]
の値は$[ア]$である．
(2)ある囲碁大会で，$5$つの地区から男女が各$1$人ずつ選抜されて，男性$5$人と女性$5$人のそれぞれが異性を相手とする対戦を$1$回行う．その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき，同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は$[イ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{BQ}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと$[ウ]$である．
(4)関数
\[ y= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \]
の逆関数を表す式は$y= [エ]$で，その定義域は$[オ]$である．

$p$を$0 \leqq p<1$を満たす定数とし，$x$の関数$f(x)$を次のように定める．
\[ f(x)=|x+1|+|x-1|+|x-p| \]
以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle p=\frac{1}{2}$として，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$x$軸，$x=-1,\ x=1$と$y=f(x)$とで囲まれてできる図形の面積を$S$とする．$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$S$を最小にする$p$の値と，そのときの$S$の値を求めよ．

$2$次関数$f(x) = ax^2 +bx+c$について，$f(0) = f(4) = 2$，最小値が$-4$となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．