関数$f(x)$が，次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たしている．

(i) $f(0) \neq 0$である．
(ii) すべての実数$x,\ y$に対して，$\displaystyle f(x)+f(y)=2f \left( \frac{x+y}{2} \right) \times f \left( \frac{x-y}{2} \right)$が成立する．

$f(p)=f(q)$のとき，次の(1)～(3)に答えよ．

(1)$f(0)=1$を示せ．
(2)$f(p+q)+f(p-q)$を$f(p)$を用いて表せ．
(3)$f(p+q)=1$または$f(p-q)=1$が成立することを示せ．

関数$f(t)=\sin^2 t+2x \cos t$の$t$に関する最大値$M(x)$を$x$の関数とする．

(1)$-1<x<1$のとき，$M(x)$を$x$を用いて表し，曲線$y=M(x)$の概形を描きなさい．
(2)曲線$y=G(x)=3x^2$と$y=M(x)$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
(3)直線$y=x-2$上の点$\mathrm{Q}$から，曲線$y=G(x)$に引いた$2$本の接線$L_1,\ L_2$の接点の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(4)$2$本の接線$L_1,\ L_2$と曲線$y=G(x)$で囲まれる図形の面積の最小値を求めなさい．

関数$f(x)=(ax+b)e^{-3x}$について以下の問いに答えなさい．

(1)導関数$f^\prime(x)$を$f^\prime(x)=(cx+d)e^{-3x}$と表すとき，$\left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$となる$2 \times 2$行列$A$を求めなさい．
(2)(1)の行列$A$の逆行列を求めなさい．
(3)不定積分$\displaystyle \int xe^{-3x} \, dx$を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数の定数，$f(x)$をすべての点で微分可能な関数とする．このとき次の等式を示せ．
\[ f^\prime(x)+af(x)=e^{-ax}(e^{ax}f(x))^\prime \]
ただし，$^\prime$は$x$についての微分を表す．
(2)(1)の等式を利用して，次の式を満たす関数$f(x)$で，$f(0)=0$となるものを求めよ．
\[ f^\prime(x)+2f(x)=\cos x \]
(3)(2)で求めた関数$f(x)$に対して，数列$\displaystyle \left\{ |f(n \pi)| \right\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の極限値
\[ \lim_{n \to \infty} |f(n \pi)| \]
を求めよ．

2回微分可能な関数$f(x)$，すなわち$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$及び$f^\prime(x)$の導関数$f^{\prime\prime}(x)$が存在する関数が，すべての実数$x$について
\[ f^\prime(x)>f^{\prime\prime}(x) \]
を満たしている．また，$a<b$とする．

(1)$\displaystyle \frac{f^\prime(a)}{e^a}>\frac{f^\prime(b)}{e^b}$を示せ．
(2)$\displaystyle \frac{f^\prime(a)}{e^a}>\frac{f(b)-f(a)}{e^b-e^a}>\frac{f^\prime(b)}{e^b}$を示せ．
(3)すべての実数$x$について$f(x)>0$であるとき，すべての実数$x$について
\[ f(x)>f^\prime(x)>0 \]
が成立することを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(1,\ 0)$における接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{B}(2,\ \log 2)$における接線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$とおく．曲線$y=f(x)$は2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を通り，さらにこの2点での接線がそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$と一致する．このときの$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(4)(3)で求めた$f(x)$に対して$g(x)=f(x)-\log x$とおく．関数$y=g(x) \ (1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を与える$x$の値を求めよ．ただし$0.69<\log 2<0.70$であることを用いてよい．

$a,\ b$は実数とする．関数$f(x)$は，
\[ f(x)=a \sin x+b \cos x+\int_{-\pi}^\pi f(t) \cos t \, dt \]
をみたし，かつ，$-\pi \leqq x \leqq \pi$における最大値は$2 \pi$である．このとき，
\[ \int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \]
を最小にする$a,\ b$の値と，その最小値を求めよ．

太郎君は関数$f(x)$を$x$について微分して導関数$f^\prime(x)=6x+6$を得た．次の(1)，(2)に答えよ．

(1)次の(a)，(b)のそれぞれの場合において，元の関数$f(x)$を求めよ．

\mon[(a)] $y=f(x)$が表す曲線と直線$y=2$が接する場合．
\mon[(b)] $y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{9}$になる場合．

(2)太郎君の話を聞いた花子さんは，次の$①$から$⑤$の付加条件を1つだけ加えて元の関数$f(x)$を求めることにした．
\begin{screen}
{\bf 付加条件}

\mon[$①$] $f(0)=3$
\mon[$②$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(2)-F(1)=7$
\mon[$③$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(0)=0$
\mon[$④$] $f^\prime(0)=f(1)$
\mon[$⑤$] $f^\prime(-1)=0$

\end{screen}
元の関数$f(x)$を求めることが{\bf できない}付加条件を$①$から$⑤$の中から選んで，その番号を全てかけ．

$f(x)$は実数全体で定義された関数とする．実数$a$に関する条件$(\mathrm{P})$を考える．

$(\mathrm{P})$ 正の実数$r$を十分小さく選べば，$|x-a|<r$をみたすすべての実数$x$に対して$f(x) \leqq f(a)$が成り立つ．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたし，かつ，$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば，$f^\prime(a)=0$であることを証明せよ．
(2)関数$f(x)$が
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
|x|-x & (x<1 \text{のとき}) \\
|x^2-6x+8| & (x \geqq 1 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
で定義されているとき，条件$(\mathrm{P})$をみたすような実数$a$全体の集合を決定せよ．
(3)一般に，実数全体で定義された関数$f(x)$に対し，次の命題は正しいか．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げよ．

（命題） すべての実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたすならば，$f(x)$は定数関数である．

3次関数$f(x)=x^3-3ax^2 \ (a>0)$と，曲線$C:y=f(x) \ (-\infty<x<\infty)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の変曲点における接線の式を求めよ．
(2)曲線$C$はこの変曲点に関して対称であることを示せ．
(3)$b,\ c$は実数とする．3次方程式$x^3-3ax^2=bx-c$が3つの解をもち，それらの解が等差数列をなすとき，$c$を$a,\ b$の式で表せ．
(4)(3)において，等差数列の公差が$2 \sqrt{3}$に等しいとする．このとき，3次関数$f(x)-bx+c$の極値を求めよ．