「関数」について
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国立 新潟大学 2010年 第4問座標平面上の4点をA$(1,\ 1)$，B$(1,\ 2)$，C$(2,\ 2)$，D$(2,\ 1)$とする．点Aに駒をおき，1個のさいころを投げて，出た目の数だけこれらの点の上を時計回りに駒を進める試行を考える．たとえば，出た目が5のとき，駒はA→B→C→D→A→Bと進みBに止まる．1回目の試行で止まる点をPとし，駒を点Aに戻し，2回目の試行で止まる点をQとする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，Oは原点を表す．
(1)O，P，Qが同一直線上にある確率を求めよ．
(2)O，P，Qを通る2次関数$y=f(x)$のグラフがただ一通りに定まるとき，P，Qの位置およびその2次関数をすべて求めよ．
(3)O，P，Qが同一直線上にあるとき$X=1$，また，O，P，Qを通る2次関数$y=f(x)$のグラフがただ一通りに定まるとき$X=2$，そのどちらでもないとき$X=0$とする．このとき，$X$の期待値を求めよ．
(1)O，P，Qが同一直線上にある確率を求めよ．
(2)O，P，Qを通る2次関数$y=f(x)$のグラフがただ一通りに定まるとき，P，Qの位置およびその2次関数をすべて求めよ．
(3)O，P，Qが同一直線上にあるとき$X=1$，また，O，P，Qを通る2次関数$y=f(x)$のグラフがただ一通りに定まるとき$X=2$，そのどちらでもないとき$X=0$とする．このとき，$X$の期待値を求めよ．
国立 山梨大学 2010年 第4問関数$f(x)=(x^2+2x+a)e^{x+2}$が極大値と極小値をともに持つとし，次の問いに答えよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)極大値を$M$，極小値を$m$とするとき，$M \cdot m=-4$となるような$a$の値を求めよ．
(3)$a$を(2)で求めた値とするとき，関数$y=f(x)$の$y \leqq 0$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)極大値を$M$，極小値を$m$とするとき，$M \cdot m=-4$となるような$a$の値を求めよ．
(3)$a$を(2)で求めた値とするとき，関数$y=f(x)$の$y \leqq 0$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第4問$a$を0以上の実数とし，$x>-1$で定義された関数
\[ f(x)=2x^2+(1-a^2) \log (x+1) \]
について，次の各問いに答えよ．
(1)方程式$f^\prime(x)=0$が$x>-1$で異なる2つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の極小値は$\displaystyle \frac{1-2 \log 2}{2}$より大きいことを証明せよ．
\[ f(x)=2x^2+(1-a^2) \log (x+1) \]
について，次の各問いに答えよ．
(1)方程式$f^\prime(x)=0$が$x>-1$で異なる2つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の極小値は$\displaystyle \frac{1-2 \log 2}{2}$より大きいことを証明せよ．
国立 鹿児島大学 2010年 第4問$a$を正の定数とし，関数
\[ f(x)=(x-a)e^{-x} \]
について，次の各問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底である．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)$n$を正の整数とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a+n$とで囲まれた部分の面積$S_n$を$n$と$a$で表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
\[ f(x)=(x-a)e^{-x} \]
について，次の各問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底である．
(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の第2次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(3)関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)$n$を正の整数とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a+n$とで囲まれた部分の面積$S_n$を$n$と$a$で表せ．また，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2010年 第1問$c$を定数とし，関数$f(x),\ g(x)$を$f(x)=-x+c,\ g(x)=-x^2+2x+3$と定める．また，直線$y=f(x)$は放物線$y=g(x)$の接線であるとする．
(1)$c$の値を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$，放物線$y=g(x)$，および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$c$の値を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$，放物線$y=g(x)$，および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 室蘭工業大学 2010年 第2問関数$g(x)$は微分可能であるとし，関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_{-\pi}^\pi \{t-g(x)\sin t\}^2 \, dt$と定める．
(1)定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi t \sin t \, dt,\ \int_{-\pi}^\pi \sin^2 t \, dt$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$を$g(x),\ g^\prime(x)$を用いて表せ．
(3)$g(x)=x^3-3x$であるとき，$f(x)$の極大値を求めよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi t \sin t \, dt,\ \int_{-\pi}^\pi \sin^2 t \, dt$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$を$g(x),\ g^\prime(x)$を用いて表せ．
(3)$g(x)=x^3-3x$であるとき，$f(x)$の極大値を求めよ．
国立 旭川医科大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)整数を係数とする$n$次方程式
\[ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0 \]
が有理数の解$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$（$\alpha$と$\beta$は互いに素な整数とする）をもつとき，$\alpha$は$a_0$の約数であり$\beta$は$a_n$の約数であることを示せ．
(2)素数$p$に対して，
\[ x+y+z=\frac{p}{3},\quad xy+yz+zx=\frac{1}{p},\quad xyz=\frac{1}{p^3} \]
を満たす$x,\ y,\ z$がすべて正の有理数であるとき，$p$および$x,\ y,\ z$を求めよ．
(1)整数を係数とする$n$次方程式
\[ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0 \]
が有理数の解$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$（$\alpha$と$\beta$は互いに素な整数とする）をもつとき，$\alpha$は$a_0$の約数であり$\beta$は$a_n$の約数であることを示せ．
(2)素数$p$に対して，
\[ x+y+z=\frac{p}{3},\quad xy+yz+zx=\frac{1}{p},\quad xyz=\frac{1}{p^3} \]
を満たす$x,\ y,\ z$がすべて正の有理数であるとき，$p$および$x,\ y,\ z$を求めよ．
国立 旭川医科大学 2010年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\sin x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の逆関数を$g(x) \ (-1 \leqq t \leqq 1)$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$-1<x<1$のとき，$g^\prime(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)曲線$y=\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と直線$y=t \ (0<t<1)$の2つの交点の$x$座標を，それぞれ$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とおくとき，$\displaystyle \int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx$を$t$と関数$g$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle h(t)=\frac{2}{\pi}\int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx-\sqrt{1-t^2} \ (0<t<1)$とおくとき，$h(t)<0 \ (0<t<1)$を示し$h(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．
(1)$-1<x<1$のとき，$g^\prime(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)曲線$y=\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と直線$y=t \ (0<t<1)$の2つの交点の$x$座標を，それぞれ$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とおくとき，$\displaystyle \int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx$を$t$と関数$g$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle h(t)=\frac{2}{\pi}\int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx-\sqrt{1-t^2} \ (0<t<1)$とおくとき，$h(t)<0 \ (0<t<1)$を示し$h(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．
国立 旭川医科大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$について，次の問いに答えよ．
$(ⅰ)$ $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$を求めよ．
$(ⅱ)$ 区間$0<x<\pi$で$f(x)$の増加減少を調べよ．
(2)三角形ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B}$の大きさをそれぞれ$\alpha,\ \beta$とし，それらの角の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b$で表す．$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{b^2}{a^2}<\frac{1-\cos \beta}{1-\cos \alpha}<\frac{\beta^2}{\alpha^2} \]
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$について，次の問いに答えよ．
$(ⅰ)$ $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$を求めよ．
$(ⅱ)$ 区間$0<x<\pi$で$f(x)$の増加減少を調べよ．
(2)三角形ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B}$の大きさをそれぞれ$\alpha,\ \beta$とし，それらの角の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b$で表す．$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{b^2}{a^2}<\frac{1-\cos \beta}{1-\cos \alpha}<\frac{\beta^2}{\alpha^2} \]
国立 小樽商科大学 2010年 第3問次の[ ]の中を適当に補いなさい．
(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[ ]$．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると[ ]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[ ]$．
(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[ ]$．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると[ ]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[ ]$．