「関数」について
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国立 茨城大学 2010年 第2問$p$を$0<p<1$を満たす有理数の定数とし，関数$f(x)$を$f(x)=|x|^p$と定める．以下の各問に答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$の概形を描け．
(2)$a$を$0$でない実数の定数とするとき，点$(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸の交点の$x$座標を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を次のように定める：$a_1=1$とし，$n \geqq 2$のとき$a_n$を点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標とする．このとき一般項$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(4)(3)で求めた数列$\{a_n\}$について，点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線と，$x$軸，および直線$x=a_n$とで囲まれた部分の面積を$T_n$とする．$T_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(5)(4)の$T_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，無限級数$T_1+T_2+T_3+\cdots$が収束する$p$の範囲を求めよ．また，収束するときの無限級数の値を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$の概形を描け．
(2)$a$を$0$でない実数の定数とするとき，点$(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸の交点の$x$座標を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$を次のように定める：$a_1=1$とし，$n \geqq 2$のとき$a_n$を点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標とする．このとき一般項$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(4)(3)で求めた数列$\{a_n\}$について，点$(a_n,\ f(a_n))$における曲線$y=f(x)$の接線と，$x$軸，および直線$x=a_n$とで囲まれた部分の面積を$T_n$とする．$T_n$を$n$と$p$を用いて表せ．
(5)(4)の$T_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，無限級数$T_1+T_2+T_3+\cdots$が収束する$p$の範囲を求めよ．また，収束するときの無限級数の値を求めよ．
国立 茨城大学 2010年 第2問$f(x)=9^x-2 \cdot 3^{x+1}-7$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$f(x) \leqq 0$となる実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$(x^2-4)f(x) \leqq 0$となる実数$x$の範囲を求めよ．
(1)$f(x) \leqq 0$となる実数$x$の範囲を求めよ．
(2)$(x^2-4)f(x) \leqq 0$となる実数$x$の範囲を求めよ．
国立 新潟大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不等式$4 \log_4 x \leqq \log_2 (4-x) +1$を解け．
(2)(1)で求めた$x$の範囲において，関数$y=9^x-4 \cdot 3^x+10$の最大値，最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(1)不等式$4 \log_4 x \leqq \log_2 (4-x) +1$を解け．
(2)(1)で求めた$x$の範囲において，関数$y=9^x-4 \cdot 3^x+10$の最大値，最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
国立 山梨大学 2010年 第3問$2$つの関数$f(x)=x^3-6x^2+9x,\ g(x)=x^3-3x^2+3x-1$について，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$および$g(x)$の増減を調べ，曲線$y=f(x)$および$y=g(x)$を図示せよ．
(2)$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)(2)で面積を求めた図形と直線$y=4x+k$が共有点を持つとき，$k$の最小値を求めよ．
(1)関数$f(x)$および$g(x)$の増減を調べ，曲線$y=f(x)$および$y=g(x)$を図示せよ．
(2)$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)(2)で面積を求めた図形と直線$y=4x+k$が共有点を持つとき，$k$の最小値を求めよ．
国立 愛媛大学 2010年 第8問$n$を自然数とし，$\displaystyle f(x)=x^2e^{-\frac{2}{3}x^3}$とする．
(1)関数$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^n f(x) \, dx$を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)<\frac{3}{2}e^{-\frac{2}{3}}$を証明せよ．
(1)関数$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^n f(x) \, dx$を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)<\frac{3}{2}e^{-\frac{2}{3}}$を証明せよ．
国立 九州工業大学 2010年 第4問次に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．必要ならば，$1.09<\log 3<1.10$を用いてよい．
(1)すべての$x>0$に対して，不等式
\[ x-\frac{x^2}{2} < \log (1+x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2}{3}-\log (1+x)$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値，および最小値を求めよ．
(3)方程式$\displaystyle x-\frac{x^2}{3}=\log (1+x)$は$0<x<2$の範囲に解を1つだけもつことを示せ．
(4)(3)における解を$\alpha \ (0<\alpha<2)$とする．曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$と曲線$y=\log (1+x)$で囲まれた図形($0 \leqq x \leqq \alpha$の部分)の面積を$S$とする．また，曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$，$y=\log (1+x)$と直線$x=2$で囲まれた図形($\alpha \leqq x \leqq 2$の部分)の面積を$T$とする．$S$と$T$の大小を比較せよ．
(1)すべての$x>0$に対して，不等式
\[ x-\frac{x^2}{2} < \log (1+x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2}{3}-\log (1+x)$の$0 \leqq x \leqq 2$における最大値，および最小値を求めよ．
(3)方程式$\displaystyle x-\frac{x^2}{3}=\log (1+x)$は$0<x<2$の範囲に解を1つだけもつことを示せ．
(4)(3)における解を$\alpha \ (0<\alpha<2)$とする．曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$と曲線$y=\log (1+x)$で囲まれた図形($0 \leqq x \leqq \alpha$の部分)の面積を$S$とする．また，曲線$\displaystyle y=x-\frac{x^2}{3}$，$y=\log (1+x)$と直線$x=2$で囲まれた図形($\alpha \leqq x \leqq 2$の部分)の面積を$T$とする．$S$と$T$の大小を比較せよ．
国立 新潟大学 2010年 第5問座標平面上の4点をA$(1,\ 1)$，B$(1,\ 2)$，C$(2,\ 2)$，D$(2,\ 1)$とする．点Aに駒をおき，1個のさいころを投げて，出た目の数だけこれらの点の上を時計回りに駒を進める試行を考える．たとえば，出た目が5のとき，駒はA→B→C→D→A→Bと進みBに止まる．1回目の試行で止まる点をPとし，駒を点Aに戻し，2回目の試行で止まる点をQとする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，Oは原点を表す．
(1)O，P，Qが同一直線上にある確率を求めよ．
(2)O，P，Qを通る2次関数$y=f(x)$のグラフがただ一通りに定まるとき，P，Qの位置およびその2次関数をすべて求めよ．
(3)(2)で2次関数がただ一通りに定まるとき，その2次関数の最大値を$X$とし，そうでないとき$X=0$とする．このとき，$X$の期待値を求めよ．
(1)O，P，Qが同一直線上にある確率を求めよ．
(2)O，P，Qを通る2次関数$y=f(x)$のグラフがただ一通りに定まるとき，P，Qの位置およびその2次関数をすべて求めよ．
(3)(2)で2次関数がただ一通りに定まるとき，その2次関数の最大値を$X$とし，そうでないとき$X=0$とする．このとき，$X$の期待値を求めよ．
国立 防衛大学校 2010年 第2問関数$f(x)=3 \sin x+4 \cos x$について，次の問に答えよ．ただし，$0 \leqq x \leqq \pi$とする．
(1)$f(x)=r \sin (x+\alpha)$と変形したとき，$r$の値と$\cos \alpha,\ \sin \alpha$の値を求めよ．ただし，$r>0,\ -\pi<\alpha \leqq \pi$とする．
(2)$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．
(3)(1)の$r$と$\alpha$に対し，$\displaystyle f(x) \geqq \frac{r}{2}$となる$x$の範囲を$\alpha$を用いて表せ．
(1)$f(x)=r \sin (x+\alpha)$と変形したとき，$r$の値と$\cos \alpha,\ \sin \alpha$の値を求めよ．ただし，$r>0,\ -\pi<\alpha \leqq \pi$とする．
(2)$f(x)$の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．
(3)(1)の$r$と$\alpha$に対し，$\displaystyle f(x) \geqq \frac{r}{2}$となる$x$の範囲を$\alpha$を用いて表せ．
国立 防衛大学校 2010年 第3問関数$f(x)=x^3-3x^2+3ax+b \ (a,\ b \text{は定数})$について，次の問に答えよ．
(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$a$の値に対し，$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする．このとき，$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
(1)$f(x)$が極値を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差が32となるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$a$の値に対し，$f(x)$の区間$-4 \leqq x \leqq 4$における最大値が5であるとする．このとき，$b$の値とこの区間での$f(x)$の最小値$m$を求めよ．
国立 東京農工大学 2010年 第3問座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2 \cos t,\quad y=\sqrt{3} \sin t \]
で与えられているとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$と速さ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(t)=-2\cos t+\frac{d}{dt}|\overrightarrow{v}|^2$とおく．$0 \leqq t \leqq 2\pi$における$f(t)$の最大値，最小値を求め，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)(2)の関数$f(t)$について定積分$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(t)}{|\overrightarrow{v}|^2} \, dt$を求めよ．
\[ x=2 \cos t,\quad y=\sqrt{3} \sin t \]
で与えられているとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$と速さ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(t)=-2\cos t+\frac{d}{dt}|\overrightarrow{v}|^2$とおく．$0 \leqq t \leqq 2\pi$における$f(t)$の最大値，最小値を求め，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)(2)の関数$f(t)$について定積分$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(t)}{|\overrightarrow{v}|^2} \, dt$を求めよ．