$0<k<1$である定数$k$について，
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\cos x -k \nonumber \\
& & g(x)=\sin x -k \tan x \nonumber
\end{eqnarray}
とおく．

(1)$\displaystyle 0<x < \frac{\pi}{2}$で，方程式$f(x)=0$は，ただ1つの実数解をもつことを示しなさい．
(2)$\displaystyle 0<x < \frac{\pi}{2}$で，方程式$g(x)=0$は，ただ1つの実数解をもつことを示しなさい．
(3)(2)での実数解を$\alpha$とする．定積分
\[ \int_0^\alpha g(x) \, dx \]
を$k$の式で表しなさい．

微分可能な関数$y=f(x)$が次の方程式を満たすとする．
\[ a_nf^{(n)}(x)+a_{n-1}f^{(n-1)}(x)+\cdots +a_1f^{(1)}(x)+a_0f(x)=0 (\text{A}) \]
ここに$n$は自然数，$a_i \ (i=0,\ 1,\ 2,\ \cdots, n)$は実数の定数で，$a_n \neq 0$である．また，$y^{(k)}=f^{(k)}(x)$は$f(x)$の$k$次導関数で$y^{(0)}=f^{(0)}(x)=f(x)$とする．(A)のような方程式を第$n$階微分方程式といい，(A)に対して$t$の$n$次方程式
\[ a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+\cdots +a_1t+a_0=0 (\text{B}) \]
を(A)の特性方程式という．このとき次の問いに答えよ．

(1)特性方程式(B)の解が実数$r$であるとき，関数$y=e^{rx}$が方程式(A)を満たすことを証明せよ．
(2)$n$次方程式(B)が実数$r$を$k$重解$^{(\text{注})}$にもつとき，次の$t$に関する方程式は$r$を$k-1$重解にもつことを証明せよ．ただし，$k=2,\ 3,\ \cdots$とする．
\[ na_nt^{n-1}+(n-1)a_{n-1}t^{n-2}+\cdots +2a_2t+a_1=0 \]
(注) \quad $t$の$m$次方程式が適当な多項式$Q(t)$を用いて$(t-r)^kQ(t)=0$となるとき，$t=r$をこの方程式の$k$重解と定義する．ただし，$k=1,\ 2,\ \cdots$とする．
(3)実数の定数$r$に対して$x$の関数を$y_i=x^ie^{rx} \ (i=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$とする．このとき，$y_j^{(n)}$を$x,\ y_{j-1}^{(n-1)}$および$y_{j-1}^{(n)}$を用いて表せ．ただし，$j=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．
(4)実数$r$が$n$次方程式(B)の$k$重解であるとき$y_i=x^ie^{rx} \ (i=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ k-1)$が微分方程式(A)を満たすことを証明せよ．ただし，$k$は自然数とする．

関数$y=\sin^3 x-\cos^3 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\sin x-\cos x = t$とおいて，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$t$の式で表せ．
(3)$y$の最大値および最小値を求めよ．

$k$を定数とし，$x$の関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=x^2+4x+k,\quad g(x)=\int_{-x}^x f(t) \, dt \]
によって定める．$g(x)$が$x=2$で極値を持つとき，以下の問いに答えよ．

(1)定数$k$の値を求めよ．
(2)$g(x)$の極値をすべて求めよ．
(3)$a$を正の実数とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線$\ell$と，曲線$y=g(x)$上の点$(a,\ g(a))$における接線$m$が平行になるとき，$a$の値と接線$\ell,\ m$の方程式をそれぞれ求めよ．

$p$を$0<p<1$を満たす定数とする．関数$y=x^3-(3p+2)x^2+8px$の区間$0 \leqq x \leqq 1$における最大値と最小値を求めよ．

定積分$\displaystyle I_n=\int_1^e (\log x)^n \, dx$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数，$e$は自然対数の底とする．

(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

定積分$\displaystyle I_n=\int_1^e (\log x)^n \, dx$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数，$e$は自然対数の底とする．

(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

関数$f(t)=2(\cos t-\sin t),\ g(t)=\cos t+\sin t$を用いて媒介変数表示された，$xy$平面上の曲線$C:x=f(t),\ y=g(t)$がある．点A$\displaystyle \left( \frac{3}{4},\ \frac{3}{2} \right)$から$C$上の点P$(f(t),\ g(t))$までの距離APの2乗$\text{AP}^2$を$h(t)$とおく．

(1)$\displaystyle \frac{d}{dt}h(t)=0$となる$t$の値を$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲ですべて求めよ．
(2)$C$は楕円であることを示せ．
(3)Pが$C$上を動くとき，APを最小にするPの座標，およびAPを最大にするPの座標を求めよ．