関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{\frac{\pi}{4}-x} \log_4 (1+\tan t) \, dt \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{8} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(0)$の値を求めよ．
(3)条件$a_1=f(0),\ a_{n+1}=f(a_n) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$p$を0でない定数とする．関数$f(x)=ae^{-x}\sin px+be^{-x}\cos px$について，$f^\prime(x)=e^{-x}\sin px$となるように，定数$a,\ b$を定めよ．
(2)$\displaystyle S(t)=\int_0^{t^2}e^{-x} \sin \frac{x}{t} \, dx \ (t \neq 0)$とおく．このとき，$S(t)$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{S(t)}{t^3}$の値を求めよ．

関数$y=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+2\sin x-2\sqrt{3}\cos x$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\sin x-\sqrt{3}\cos x=t$とおいて，$y$を$t$の式で表せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{2}{3}\pi$のとき，$y$の最大値および最小値を求めよ．

$\theta$の関数$f(\theta)=A \sin (\theta + \alpha)$は$f(0^\circ)=1,\ f(90^\circ)=1$をみたしている．ただし，$A>0,\ 0^\circ \leqq \alpha < 360^\circ$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$と$\alpha$を求めよ．
(2)$f(\alpha +30^\circ)$と$\sin (\alpha +30^\circ) \cos (\alpha +30^\circ)$を求めよ．
(3)$\theta$の関数$g(\theta)$は
\begin{eqnarray}
& & \{f(\theta)\}^2 g(\theta)-k \{f(\theta)\}^2 = 2\{g(\theta)\}^2 -2kg(\theta)+g(\theta)-\frac{1}{4} \nonumber \\
& & g(\alpha + 30^\circ)=\sin (\alpha + 30^\circ) \cos (\alpha + 30^\circ) \nonumber
\end{eqnarray}
をみたしている．実数$k$と$g(\theta)$を求めよ．

次の各問に答えよ．
\vspace*{-6mm}
\begin{spacing}{2.2}

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sin x \cos x}$
(3)$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_{\log \pi}^{\log (2\pi)} e^x \sin (e^x) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 e^{2x}(x+1) \, dx$
(7)$\displaystyle \int_0^\pi \sin x \cos (4x) \, dx$
(8)$\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{x+1}{(x+2)(x+3)} \, dx$


\end{spacing}
\vspace*{-6mm}

関数$f(x)=x2^{-x}$の区間$t \leqq x \leqq t+1$における最小値を$g(t)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$g(t)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_0^2 g(t) \, dt$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{\frac{\pi}{4}-x} \log_4 (1+\tan t) \, dt \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{8} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle f \left(\frac{\pi}{8} \right)$および$f(0)$の値を求めよ．
(3)条件$a_1=f(0),\ a_{n+1}=f(a_n) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

定数$a$，関数$f(x)$，および数列$\{x_n\}$を次のように定める．
\begin{eqnarray}
& & 1<a<2,\quad f(x)=\frac{1}{2}(3x^2-x^3) \nonumber \\
& & x_1=a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}

(1)関数$f(x)$の増減を調べよ．
(2)すべての自然数$n$に対して$1<x_n<2$を示せ．
(3)すべての自然数$n$に対して$x_{n+1}>x_n$を示せ．
(4)次の不等式を満たす$n$に無関係な定数$b \ (0<b<1)$があることを示せ．
\[ 2-x_{n+1} \leqq b(2-x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)数列$\{x_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x\sqrt{x}} \ (x>1)$に対して次の問いに答えよ．必要ならば，自然対数の底$e$の値は$2<e<3$であることを用いてよい．

(1)関数$f(x)$の増減を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点P$(t,\ f(t))$における法線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)点Pから$x$軸に下ろした垂線をPQとする．(2)で求めた法線$\ell$と$x$軸との交点をRとする．2点Q，Rの距離の最大値を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を実数とし，$f(x)=3x^4+ax^3+bx^2+cx+d$とする．曲線$y=f(x)$が変曲点$(1,\ 0)$，$\displaystyle \left( \frac{1}{3},\ -\frac{16}{27} \right)$をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸を調べよ．
(3)$y=f(x)$のグラフをかけ．