$a,\ p$を実数とし$a$は$|\,a\,| \leqq 1$を満たすものとする．
\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{l}
-x^2+3 \quad (x \leqq a) \\
-a^2+3 \quad (x>a)
\end{array}
\right. \]
とし，$C$を$y=f(x)$で定まるグラフとする．また$\ell$を$y=px+p+2$で定まる直線とする．

(1)直線$\ell$は$p$によらず，定点を通ることを示せ．また$\ell$が放物線$y=-x^2+3$に接するような$p$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が相異なる2点のみを共有するような$p$の範囲を求め，さらにその共有点の$x$座標を求めよ．

$k$は正の定数とし，$f(x)=e^{k \sin x}\cos x$とする．曲線$C$を，$y=f(x)$のグラフの$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$に対応する部分とする．

(1)$t$の関数$g(t)$は，$f^{\prime}(x)=e^{k \sin x}g(\sin x)$を満たすものとする．このとき$g(t)$を求め，さらに$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲における$g(t)=0$の解を求めよ．
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において$f(x)$が最大となるときの$f(x)^2$の値を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸に囲まれた部分の面積を求めよ．

$a,\ b$は実数で，$a>1$とする．$t$の関数
\[ f(t)=2t^3-3(a+1)t^2+6at+b \]
について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(t)$の極値を，$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$a$の値を$x$座標，$b$の値を$y$座標とする$xy$平面上の点P$(a,\ b)$を考える．このとき，3次方程式$f(t)=0$が相異なる3つの実数解をもつような点P$(a,\ b)$の存在する領域$D$を$xy$平面上に図示せよ．
(3)$D$および$D$の境界からなる領域を$E$とする．領域$E$のうち，
\[ y \leqq -x^2+4x-11 \]
を満たす部分の面積を求めよ．

$0<m<1$とする．$f(x)=x^2,\ g(x)=mx$とおく．この$f(x)$と$g(x)$を$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で考える．

(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$および直線$x=1$で囲まれるふたつの図形の面積の和を$S(m)$とする．$S(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲での$|f(x)-g(x)|$の最大値を$h(m)$とする．$h(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．

$0<m<1$とする．$f(x)=x^2,\ g(x)=mx$とおく．この$f(x)$と$g(x)$を$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で考える．

(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$および直線$x=1$で囲まれるふたつの図形の面積の和を$S(m)$とする．$S(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲での$|f(x)-g(x)|$の最大値を$h(m)$とする．$h(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．

$x$の微分可能な関数を成分とする行列$M=\biggl( \begin{array}{cc}
m_{11} & m_{12} \\
m_{21} & m_{22}
\end{array} \biggr)$に対し，$M$の各成分を$x$で微分した行列$\biggl( \begin{array}{cc}
m_{11}^{\prime} & m_{12}^{\prime} \\
m_{21}^{\prime} & m_{22}^{\prime}
\end{array} \biggr)$を$M^{\prime}$と表す．$a_{11},\ a_{12},\ a_{21},\ a_{22}$および$b_{11},\ b_{12},\ b_{21},\ b_{22}$を$x$の微分可能な関数とし，
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array} \biggr) \]
とおく．

(1)等式$(AB)^\prime =A^\prime B+AB^\prime$が成り立つが，これを$(1,\ 2)$成分について確かめよ．
(2)$A$はすべての$x$について逆行列$A^{-1}$を持つとする．このとき(1)の等式を用いて，$A^\prime A^{-1}+A(A^{-1})^\prime$を求めよ．
(3)$A$はすべての$x$について逆行列を持つとする．$(A^{-1})^\prime$を$A^{-1},\ A^\prime$を用いて表せ．

座標平面に原点O$(0,\ 0)$，点A$(-1,\ 3)$，点B$(4,\ 8)$がある．さらに，2次関数$y=f(x)$のグラフ$G$と円$C$はそれぞれ3点O，A，Bを通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点O，A，B以外の点の座標を求めよ．

座標平面に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(-1,\ 3)$，点$\mathrm{B}(4,\ 8)$がある．さらに，2次関数$y=f(x)$のグラフ$G$と円$C$はそれぞれ3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の点の座標を求めよ．

次の各問に答えよ．
\vspace*{-6mm}
\begin{spacing}{2.2}

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sin x \cos x}$
(3)$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_{\log \pi}^{\log (2\pi)} e^x \sin (e^x) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 e^{2x}(x+1) \, dx$
(7)$\displaystyle \int_0^\pi \sin x \cos (4x) \, dx$
(8)$\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{x+1}{(x+2)(x+3)} \, dx$


\end{spacing}
\vspace*{-6mm}

座標平面に原点O$(0,\ 0)$，点A$(-1,\ 3)$，点B$(4,\ 8)$がある．さらに，2次関数$y=f(x)$のグラフ$G$と円$C$はそれぞれ3点O，A，Bを通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)円$C$の中心の座標および半径を求めよ．
(3)グラフ$G$と円$C$との交点のうち，3点O，A，B以外の点の座標を求めよ．