3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が次の条件(i)，(ii)をみたしている．

\mon[(i)] 関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,\ 3)$を通り，この点における接線の傾きは5である．
\mon[(ii)] 関数$y=f(x)$は$x=1$で極値1をとる．

このとき，次の問に答えよ．

(1)係数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．

$a$を正の実数とし，$f(x)=x^3-3a^2x$とおく．曲線$C:y=f(x)$の原点Oにおける接線を$\ell_1$，原点以外の任意の点P$(p,\ f(p))$における接線を$\ell_2$とし，2つの直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点をQとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)2直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)点Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$OPQは曲線$C$によって2つの部分に分けられる．このうち，曲線$C$と線分OPで囲まれた図形の面積を$S$，曲線$C$と2直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$は一定であることを示せ．

3次関数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が次の条件(i)，(ii)をみたしている．

\mon[(i)] 関数$y=f(x)$のグラフは点$(2,\ 3)$を通り，この点における接線の傾きは5である．
\mon[(ii)] 関数$y=f(x)$は$x=1$で極値1をとる．

このとき，次の問に答えよ．

(1)係数$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 2\pi$において，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{2a(\sin x+\cos x)}{2+2\sin x \cos x - a(\sin x+ \cos x)} \]
と定める．ここで，$a$は$0<a<2$をみたす定数である．このとき，次の問に答えよ．

(1)$t=\sin x+ \cos x$とおくとき，関数$f(x)$を$t$を用いて表せ．
(2)(1)で求めた関数を$g(t)$とするとき，関数$g(t)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)関数$f(x)$が最大値，最小値をとるときのそれぞれの$x$の値を求めよ．

$t$を実数とし，$f(x)=x^2+2tx+1$とおく．$0 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ$g(t),\ h(t)$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$g(t),\ h(t)$をそれぞれ$t$の関数として表しなさい．
(2)$\displaystyle \int_{-2}^2 \{g(t)-h(t)\} \, dt$の値を求めなさい．

次の問に答えよ．

(1)関数$y=|x^2-1|$のグラフの概形をかけ．
(2)$a>1$とする．曲線$y=|x^2-1|$と$x$軸，$y$軸および直線$x=a$とで囲まれた図形において，$0 \leqq x \leqq 1$の部分を$S_1$とし，$1 \leqq x \leqq a$の部分を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とする．$V_1,\ V_2$を求めよ．
(3)$V_1=V_2$となるとき，$a$の値を求めよ．

$k$を実数とする．$f(x)=(x-k)^2+k^2-k-1$について以下の問いに答えよ．

(1)$k$の値によらず$f(3)>0$となることを示せ．
(2)2次方程式$f(x)=0$が実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(n)<0$をみたす正の整数$n$がただ一つ存在するような$k$の値の範囲を求めよ．

$a,\ p$を実数とし$a$は$|\,a\,| \leqq 1$を満たすものとする．
\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{l}
-x^2+3 \quad (x \leqq a) \\
-a^2+3 \quad (x>a)
\end{array}
\right. \]
とし，$C$を$y=f(x)$で定まるグラフとする．また$\ell$を$y=px+p+2$で定まる直線とする．

(1)直線$\ell$は$p$によらず，定点を通ることを示せ．また$\ell$が放物線$y=-x^2+3$に接するような$p$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が相異なる2点のみを共有するような$p$の範囲を求め，さらにその共有点の$x$座標を求めよ．

$a,\ p$を実数とし$a$は$|\,a\,| \leqq 1$を満たすものとする．
\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{l}
-x^2+3 \quad (x \leqq a) \\
-a^2+3 \quad (x>a)
\end{array}
\right. \]
とし，$C$を$y=f(x)$で定まるグラフとする．また$\ell$を$y=px+p+2$で定まる直線とする．

(1)直線$\ell$は$p$によらず，定点を通ることを示せ．また$\ell$が放物線$y=-x^2+3$に接するような$p$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が相異なる2点のみを共有するような$p$の範囲を求め，さらにその共有点の$x$座標を求めよ．

$a,\ p$を実数とし$a$は$|\,a\,| \leqq 1$を満たすものとする．
\[ f(x) = \left\{
\begin{array}{l}
-x^2+3 \quad (x \leqq a) \\
-a^2+3 \quad (x>a)
\end{array}
\right. \]
とし，$C$を$y=f(x)$で定まるグラフとする．また$\ell$を$y=px+p+2$で定まる直線とする．

(1)直線$\ell$は$p$によらず，定点を通ることを示せ．また$\ell$が放物線$y=-x^2+3$に接するような$p$を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が相異なる2点のみを共有するような$p$の範囲を求め，さらにその共有点の$x$座標を求めよ．