「関数」について
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（201ページ目：全2213問中2001問～2010問を表示）
国立 富山大学 2010年 第1問$0 \leqq t \leqq 1$をみたす$t$に対し，$\sin x=t$となる$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$x$を$f(t)$と表すことにする．さらに，$t$の関数$g(t)$を
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．
国立 島根大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\sin^2 x+2\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(t) \cos t \, dt \]
(2)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=x-\frac{1}{2}\sin 2x+ \int_0^{x} g^{\, \prime}(t) \cos t \, dt \]
ただし，$g(x)$は微分可能で，その導関数$g^{\, \prime}(x)$は連続であるとする．
(1)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\sin^2 x+2\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(t) \cos t \, dt \]
(2)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=x-\frac{1}{2}\sin 2x+ \int_0^{x} g^{\, \prime}(t) \cos t \, dt \]
ただし，$g(x)$は微分可能で，その導関数$g^{\, \prime}(x)$は連続であるとする．
国立 琉球大学 2010年 第4問$a>0$とし，
\[ f(x)=a^2(x+1)e^{-ax} \]
とおく．
(1)関数$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$c$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸および直線$x=c$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$0<a<1$における$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．ただし，$e>2$であることを証明なしに用いてよい．
\[ f(x)=a^2(x+1)e^{-ax} \]
とおく．
(1)関数$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$c$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸および直線$x=c$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$0<a<1$における$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．ただし，$e>2$であることを証明なしに用いてよい．
国立 島根大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{x^2-1}-x \right)$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{x^3}{x^2-1}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$x^3-kx^2+k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{x^2-1}-x \right)$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{x^3}{x^2-1}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$x^3-kx^2+k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
国立 富山大学 2010年 第3問$\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \ (x>0)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．
(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．
国立 富山大学 2010年 第1問$\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \ (x>0)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．
(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．
国立 富山大学 2010年 第2問$0 \leqq t \leqq 1$をみたす$t$に対し，$\sin x=t$となる$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$x$を$f(t)$と表すことにする．さらに，$t$の関数$g(t)$を
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．
国立 富山大学 2010年 第2問$\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \ (x>0)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．
(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．
国立 富山大学 2010年 第3問$0 \leqq t \leqq 1$をみたす$t$に対し，$\sin x=t$となる$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$x$を$f(t)$と表すことにする．さらに，$t$の関数$g(t)$を
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．
国立 高知大学 2010年 第3問関数$f(x)$の導関数$f^{\, \prime}(x)$は$f^{\, \prime}(x)=x^2-1$を満たし，さらに$f(3)=6$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$が接するときの$k$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle g(x)=\frac{2}{9}x^3+\frac{2}{3}x^2-2x$とする．このとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを同一座標平面上に図示せよ．また，それらの共有点の座標を求めよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$が接するときの$k$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle g(x)=\frac{2}{9}x^3+\frac{2}{3}x^2-2x$とする．このとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを同一座標平面上に図示せよ．また，それらの共有点の座標を求めよ．