関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x+1}{|x|}$について，次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，$y=f(x)$の極値と漸近線を求め，グラフの概形をかけ．
(2)$x<0$のとき，$y=f(x)$の極値と漸近線を求め，グラフの概形をかけ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
1 \quad (x \geqq 0) \\
0 \quad (x<0)
\end{array}
\right. \]
により定める．

(1)$a,\ b$は実数とする．$y = ax + b$のグラフと$y = f(x)$のグラフがちょうど2つの交点をもつための$a,\ b$に対する条件を求めよ．
(2)$p,\ q$は実数で$p>0$とする．$y = x^3 + 6px^2 + 9p^2x + q$のグラフと$y = f(x)$のグラフがちょうど4つの交点をもつための$p,\ q$に対する条件を求め，$pq$平面上に図示せよ．

$f(x)=2x^3+3x^2-12x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$a$を実数とするとき，直線$y=ax+a+13$が$a$に関係しない1点を通ることを示せ．また，その点が(1)のグラフ上にあることを示せ．
(3)(1)のグラフと(2)の直線との共有点の個数を求めよ．

関数$f(x)$が次の式で与えられている．
\[ f(x)=x^2-f^{\, \prime}(a)x+\int_{-b}^0f^{\, \prime}(t)\, dt \]
ここで，$a$と$b$は定数である．方程式$f(x)=0$が2つの異なる実数解$\alpha$と$\beta$をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)$f^{\,\prime}(a)$を$\alpha$と$\beta$で表せ．
(2)$a$と$b$を，それぞれ$\alpha$と$\beta$で表せ．

関数$f(x)$が次の式で与えられている．
\[ f(x)=x^2-f^{\, \prime}(a)x+\int_{-b}^0f^{\, \prime}(t)\, dt \]
ここで，$a$と$b$は定数である．方程式$f(x)=0$が$2$つの異なる実数解$\alpha$と$\beta$をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)$f^{\,\prime}(a)$を$\alpha$と$\beta$で表せ．
(2)$a$と$b$を，それぞれ$\alpha$と$\beta$で表せ．

$f(x)=x^2-2|x|-1$とする．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=3x+5$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=3x+5$で囲まれた図形の面積を求めよ．

実数$a$は$0 \leqq a \leqq 4$を満たす．このとき，関数$f(x)=x(x-4),\ g(x)=a(x-4)$に対して，$\displaystyle \int_0^4 \bigl|f(x)-g(x) \bigr| \, dx$を最小にする$a$の値を求めよ．

3次式$x^3-7x^2+15x+b$を1次式$x-a$で割ったときの商が$f(x)$で，余りが5であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$で，放物線$y=f(x)$の頂点が直線$y=x-a$の上にあるとき，$f(x)$を求めよ．

$3$次式$x^3-7x^2+15x+b$を$1$次式$x-a$で割ったときの商が$f(x)$で，余りが$5$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$で，放物線$y=f(x)$の頂点が直線$y=x-a$の上にあるとき，$f(x)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\sin^2 x+2\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(t) \cos t \, dt \]
(2)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=x-\frac{1}{2}\sin 2x+ \int_0^{x} g^{\, \prime}(t) \cos t \, dt \]
ただし，$g(x)$は微分可能で，その導関数$g^{\, \prime}(x)$は連続であるとする．