次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を連続関数とするとき，
\[ \int_0^\pi x f(\sin x) \, dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(2)定積分
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin^3 x}{\sin^2 x+8} \, dx \]
の値を求めよ．

関数$y = 2 \sin 3x+ \cos 2x-2 \sin x+a$の最小値の絶対値が，最大値と一致するように，定数$a$の値を定めよ．

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}ax^2$とおく．ただし，$a > 0$とする．

(1)$f(-1) \leqq f(3)$となる$a$の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の極小値が$f(-1)$以下となる$a$の範囲を求めよ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 3$における$f(x)$の最小値を$a$を用いて表せ．

関数$\displaystyle y = \frac{\cos x}{e^x} \ (x > 0)$の極大値を，大き方から順に
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$の和を求めよ．

$a$を実数とする．関数$\displaystyle f(x) = x^2-a|x-2|+\frac{a^2}{4}$の最小値を$a$を用いて表せ．

2次関数$f(x)=x^2+ax+b$に対して
\[ f(x+1)=c\int_0^1(3x^2+4xt)f^{\, \prime}(t)\,dt \]
が$x$についての恒等式になるような定数$a$，$b$，$c$の組をすべて求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で関数$f(x)=\cos x \sin^2 x$と$g(x)=\cos^3 x$を考える．次の問に答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．ただし，$f(x)$が極値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\sin \pi x \phantom{0} \ (0 \leqq x \leqq 1) \\
0 \phantom{\sin \pi x} \ (x<0,\ x>1)
\end{array}
\right.$を用いて，すべての実数$t$に対して，関数$\displaystyle g(t)=\int_0^1 f \left( \frac{t}{3} -x \right)\, dx$を定義する．このとき，$g(t)$と定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 g(t) \, dt$を求めよ．

$n$を自然数とし，1から$n$までの自然数の積を$n!$で表す．このとき以下の問いに答えよ．

(1)単調に増加する連続関数$f(x)$に対して，不等式$\displaystyle \int_{k-1}^k f(x) \, dx \leqq f(k)$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \int_1^n \log x\, dx \leqq \log n!$を示し，不等式$n^ne^{1-n} \leqq n!$を導け．
(3)$x \geqq 0$に対して，不等式$x^ne^{1-x} \leqq n!$を示せ．

$a \ (a>0)$を定数とし，$f(x)=2a \log x - (\log x)^2$とする．関数$y = f(x)$のグラフは，$x$軸と点P$_1(x_1,\ 0)$，P$_2(x_2,\ 0) \ (x_1<x_2)$で交わっている．次の問いに答えよ．

(1)$x_1,\ x_2$の値を求めよ．また，$y = f(x)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(2)点P$_1$，P$_2$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点の$x$座標を$X(a)$と表すとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty} X(a)$を求めよ．
(3)$a = 1$とするとき，$y = f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．