「関数」について
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国立 埼玉大学 2010年 第3問$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，関数
\[ f(x) = \frac{\sin x}{9+16 \sin^2 x} \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分
\[ \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \]
を求めよ．
\[ f(x) = \frac{\sin x}{9+16 \sin^2 x} \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分
\[ \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \]
を求めよ．
国立 埼玉大学 2010年 第2問$a,\ b,\ c$を9以下の自然数とし，2次式$f(x)=ax^2-bx+c$を考える．このとき，$f(x)$が次の条件を満たすような組$(a,\ b,\ c)$はそれぞれ何通りあるか．
(1)$f(1)=0$である．
(2)$f(1)=0$かつ$f(2)=0$である．
(3)$f(1)=0$または$f(2)=0$である．
(4)2次方程式$f(x)=0$は重解を持つ．
(1)$f(1)=0$である．
(2)$f(1)=0$かつ$f(2)=0$である．
(3)$f(1)=0$または$f(2)=0$である．
(4)2次方程式$f(x)=0$は重解を持つ．
国立 埼玉大学 2010年 第3問$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，関数
\[ f(x) = \frac{\sin x}{9+16 \sin^2 x} \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分
\[ \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \]
を求めよ．
\[ f(x) = \frac{\sin x}{9+16 \sin^2 x} \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)関数$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$a$とするとき，定積分
\[ \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \]
を求めよ．
国立 広島大学 2010年 第3問$p,\ a$を実数の定数とする．多項式$P(x) = x^3-(2p+a)x^2 + (2ap+1)x-a$を$x-3$で割った余りが$10-6p$であり，3次方程式$P(x) = 0$の実数解は$a$のみとする．次の問いに答えよ．
(1)実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)関数$y = P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．
(1)実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)関数$y = P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．
国立 広島大学 2010年 第2問$p,\ a$を実数の定数とする．多項式$P(x) = x^3-(2p+a)x^2 + (2ap+1)x-a$を$x-3$で割った余りが$10-6p$であり，3次方程式$P(x) = 0$の実数解は$a$のみとする．次の問いに答えよ．
(1)実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)関数$y = P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．
(1)実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)関数$y = P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．
国立 弘前大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたすとき，方程式
\[ -\sin 2\theta \cos \theta +2 \cos 2\theta + \sin \theta = 0 \]
を解け．
(2)関数
\[ y = \log_2 (2-x) + \log_{\sqrt{2}} (x+1) \]
の最大値を求めよ．
(1)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたすとき，方程式
\[ -\sin 2\theta \cos \theta +2 \cos 2\theta + \sin \theta = 0 \]
を解け．
(2)関数
\[ y = \log_2 (2-x) + \log_{\sqrt{2}} (x+1) \]
の最大値を求めよ．
国立 弘前大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$a$を定数とする．関数$y = a(x - \sin 2x) \ (-\pi \leqq x \leqq \pi)$の最大値が2であるような$a$の値を定めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^3 \frac{\log (x+1)}{x^2} \, dx$を求めよ．
(1)$a$を定数とする．関数$y = a(x - \sin 2x) \ (-\pi \leqq x \leqq \pi)$の最大値が2であるような$a$の値を定めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^3 \frac{\log (x+1)}{x^2} \, dx$を求めよ．
国立 東京工業大学 2010年 第1問$f(x) = 1- \cos x-x \sin x$とする．
(1)$0<x< \pi$において，$f(x) = 0$は唯一の解を持つことを示せ．
(2)$\displaystyle J =\int_0^{\pi} | f(x) | \, dx$とする．(1)の唯一の解を$\alpha$とするとき，$J$を$\sin \alpha$の式で表せ．
(3)(2)で定義された$J$と$\sqrt{2}$の大小を比較せよ．
(1)$0<x< \pi$において，$f(x) = 0$は唯一の解を持つことを示せ．
(2)$\displaystyle J =\int_0^{\pi} | f(x) | \, dx$とする．(1)の唯一の解を$\alpha$とするとき，$J$を$\sin \alpha$の式で表せ．
(3)(2)で定義された$J$と$\sqrt{2}$の大小を比較せよ．
国立 名古屋大学 2010年 第2問関数$f(x) = (x^2-x)e^{-x}$について，以下の問いに答えよ．必要ならば，任意の自然数$n$に対して
\[ \lim_{x \to +\infty} x^ne^{-x} = 0 \]
が成り立つことを用いてよい．
(1)$y = f(x)$のグラフの変曲点を求め，グラフの概形をかけ．
(2)$a > 0$とする．点$(0,\ a)$を通る$y = f(x)$のグラフの接線が1本だけ存在するような$a$の値を求めよ．また，$a$がその値をとるとき，$y = f(x)$のグラフ，その接線および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
\[ \lim_{x \to +\infty} x^ne^{-x} = 0 \]
が成り立つことを用いてよい．
(1)$y = f(x)$のグラフの変曲点を求め，グラフの概形をかけ．
(2)$a > 0$とする．点$(0,\ a)$を通る$y = f(x)$のグラフの接線が1本だけ存在するような$a$の値を求めよ．また，$a$がその値をとるとき，$y = f(x)$のグラフ，その接線および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 横浜国立大学 2010年 第1問実数$a$に対し，関数
\[ f(x) = \cos 2x+4a \cos x+2a+5 \]
を考える．$f(x)$の最小値を$m(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x) = 0$が解をもたないような$a$の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲の$a$について，$m(a)$を求めよ．
(3)$a$が (1)で求めた範囲を動くとき，$m(a)$の最大値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．
(4)(3)で求めた$a$に対し，$f(x) = m(a)$となる$x$の値を求めよ．
\[ f(x) = \cos 2x+4a \cos x+2a+5 \]
を考える．$f(x)$の最小値を$m(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x) = 0$が解をもたないような$a$の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲の$a$について，$m(a)$を求めよ．
(3)$a$が (1)で求めた範囲を動くとき，$m(a)$の最大値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．
(4)(3)で求めた$a$に対し，$f(x) = m(a)$となる$x$の値を求めよ．