「関数」について
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国立 一橋大学 2010年 第1問実数$p,\ q,\ r$に対して，3次多項式$f(x)$を$f(x)=x^3+px^2+qx+r$と定める．実数$a,\ c,\ $および0でない実数$b$に対して，$a+bi$と$c$はいずれも方程式$f(x)=0$の解であるとする．ただし，$i$は虚数単位を表す．
(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，点$(a,\ f(a))$における接線の傾きを$s(a)$とし，点$(c,\ f(c))$における接線の傾きを$s(c)$とする．$a \neq c $のとき，$s(a)$と$s(c)$の大小を比較せよ．
(2)さらに，$a,\ c$は整数であり，$b$は0でない整数であるとする．次を証明せよ．
(3)$p,\ q,\ r$はすべて整数である．
(4)$p$が2の倍数であり，$q$が4の倍数であるならば，$a,\ b,\ c$はすべて2の倍数である．
(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，点$(a,\ f(a))$における接線の傾きを$s(a)$とし，点$(c,\ f(c))$における接線の傾きを$s(c)$とする．$a \neq c $のとき，$s(a)$と$s(c)$の大小を比較せよ．
(2)さらに，$a,\ c$は整数であり，$b$は0でない整数であるとする．次を証明せよ．
(3)$p,\ q,\ r$はすべて整数である．
(4)$p$が2の倍数であり，$q$が4の倍数であるならば，$a,\ b,\ c$はすべて2の倍数である．
国立 山形大学 2010年 第2問$f(x)=|x-2|\sqrt{x+1} (x \geqq -1)$として，以下の問に答えよ．
(1)導関数$f^{\, \prime}(x)$および2次導関数$f^{\, \prime\prime}(x)$を求めよ．ただし，$x=-1,\ 2$を除くものとする．
(2)$f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(1)導関数$f^{\, \prime}(x)$および2次導関数$f^{\, \prime\prime}(x)$を求めよ．ただし，$x=-1,\ 2$を除くものとする．
(2)$f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
国立 大阪大学 2010年 第1問関数
\[ f(x) = 2\log(1+e^x)-x-\log 2 \]
を考える．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．
(1)$f(x)$の第2次導関数を$f^{\,\prime\prime}(x)$とする．等式
\[ \log f^{\,\prime\prime}(x) = -f(x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\log 2} (x-\log 2)e^{-f(x)}\, dx$を求めよ．
\[ f(x) = 2\log(1+e^x)-x-\log 2 \]
を考える．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．
(1)$f(x)$の第2次導関数を$f^{\,\prime\prime}(x)$とする．等式
\[ \log f^{\,\prime\prime}(x) = -f(x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\log 2} (x-\log 2)e^{-f(x)}\, dx$を求めよ．
国立 神戸大学 2010年 第1問$a$を実数とする．関数$\displaystyle f(x) = ax+ \cos x+ \frac{1}{2} \sin 2x$が極値をもたないように，$a$の値の範囲を定めよ．
国立 神戸大学 2010年 第3問$\displaystyle f(x) =\frac{\log x}{x},\ g(x) = \frac{2 \log x}{x^2} \ (x > 0)$とする．以下の問に答えよ．ただし，自然
対数の底$e$について，$e=2.718 \cdots$であること，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$であることを証明なしで用いてよい．
(1)2曲線$y = f(x)$と$y = g(x)$の共有点の座標をすべて求めよ．
(2)区間$x>0$において，関数$y = f(x)$と$y = g(x)$の増減，極値を調べ，2曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフの概形をかけ．グラフの変曲点は求めなくてよい．
(3)区間$1 \leqq x \leqq e$において，2曲線$y = f(x)$と$y = g(x)$，および直線$x = e$で囲まれた図形の面積を求めよ．
対数の底$e$について，$e=2.718 \cdots$であること，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$であることを証明なしで用いてよい．
(1)2曲線$y = f(x)$と$y = g(x)$の共有点の座標をすべて求めよ．
(2)区間$x>0$において，関数$y = f(x)$と$y = g(x)$の増減，極値を調べ，2曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフの概形をかけ．グラフの変曲点は求めなくてよい．
(3)区間$1 \leqq x \leqq e$において，2曲線$y = f(x)$と$y = g(x)$，および直線$x = e$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 神戸大学 2010年 第1問実数$a,\ b$に対して，$f(x) = a(x-b)^2$とおく．ただし，$a$は正とする．放物線$y = f(x)$が直線$y = -4x+4$に接している．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$において，$f(x)$の最大値$M(a)$と，最小値$m(a)$を求めよ．
(3)$a$が正の実数を動くとき，$M(a)$の最小値を求めよ．
(1)$b$を$a$で表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$において，$f(x)$の最大値$M(a)$と，最小値$m(a)$を求めよ．
(3)$a$が正の実数を動くとき，$M(a)$の最小値を求めよ．
国立 東北大学 2010年 第1問$f(x) = x^3$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq a < x < y$を満たすすべての$a,\ x,\ y$に対して
\[ \frac{f(x)- f(a)}{x-a} < \frac{f(y)- f(x)}{y-x} \]
が成り立つことを示せ．
(2)$y < x < b$を満たすすべての$x,\ y$に対して
\[ f(x) > \frac{(x-y)f(b) + (b-x)f(y)}{b-y} \]
が成り立つような$b$の範囲を求めよ．
(1)$0 \leqq a < x < y$を満たすすべての$a,\ x,\ y$に対して
\[ \frac{f(x)- f(a)}{x-a} < \frac{f(y)- f(x)}{y-x} \]
が成り立つことを示せ．
(2)$y < x < b$を満たすすべての$x,\ y$に対して
\[ f(x) > \frac{(x-y)f(b) + (b-x)f(y)}{b-y} \]
が成り立つような$b$の範囲を求めよ．
国立 東北大学 2010年 第1問$f(x) = x^3 +3x^2 -9x$とする．$y < x < a$を満たすすべての$x,\ y$に対して
\[ f(x) > \frac{(x−y)f(a) + (a-x)f(y)}{a−y} \]
が成り立つような$a$の範囲を求めよ．
\[ f(x) > \frac{(x−y)f(a) + (a-x)f(y)}{a−y} \]
が成り立つような$a$の範囲を求めよ．
国立 北海道大学 2010年 第4問$0 \leqq x \leqq 1$に対して
\[ f(x)=\int_0^1 e^{-|t-x|}t(1-t) \, dt \]
と定める．ただし，$e=2.718 \cdots$は自然対数の底である．
(1)不定積分$\displaystyle I_1=\int te^t \, dt,\ I_2=\int t^2e^t \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の指数関数と多項式を用いて表せ．
(3)$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大となることを示せ．
\[ f(x)=\int_0^1 e^{-|t-x|}t(1-t) \, dt \]
と定める．ただし，$e=2.718 \cdots$は自然対数の底である．
(1)不定積分$\displaystyle I_1=\int te^t \, dt,\ I_2=\int t^2e^t \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$を$x$の指数関数と多項式を用いて表せ．
(3)$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大となることを示せ．
国立 静岡大学 2010年 第2問次の問いに答えよ．
(1)不等式$x+x^2 \log x > 0$が成り立つことを示せ．
(2)関数$y = -x^2 \log x$の増減，グラフの凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．
(1)不等式$x+x^2 \log x > 0$が成り立つことを示せ．
(2)関数$y = -x^2 \log x$の増減，グラフの凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．